所以 \(V(\boldsymbol{x})\) 不定。
(3) 写出二次型函数的向量-矩阵形式
\[V(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & -1 & 0\\-1 & 0 & 3\\0 & 3 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}\]
由于 \(\boldsymbol{P}\) 的顺序主子式为
\[\Delta_1=-1<0,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}-1 & -1\\-1 & 0\end{vmatrix}=-1<0,\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}-1 & -1 & 0\\-1 & 0 & 3\\0 & 3 & 2\end{vmatrix}=7>0\]
所以 \(V(\boldsymbol{x})\) 不定。
(4) 写出二次型函数的向量-矩阵形式
\[V(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\1 & 4 & -3\\-1 & -3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}\]
由于 \(\boldsymbol{P}\) 的顺序主子式为
\[\Delta_1=1>0,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 4\end{vmatrix}=3>0,\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\1 & 4 & -3\\-1 & -3 & 1\end{vmatrix}=-4<0\]
所以 \(V(\boldsymbol{x})\) 不定。
(5) 写出二次型函数的向量-矩阵形式
\[V(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0 & 2\\0 & -4 & 0\\2 & 0 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}\]
由于 \(\boldsymbol{P}\) 的顺序主子式为
\[\Delta_1=-1<0,\quad \Delta_2=\begin{vmatrix}-1 & 0\\0 & -4\end{vmatrix}=4>0,\quad \Delta_3=\begin{vmatrix}-1 & 0 & 2\\0 & -4 & 0\\2 & 0 & -4\end{vmatrix}=0\]
所以 \(V(\boldsymbol{x})\) 负半定。
MATLAB 验证：根据二次型函数的定号性与矩阵特征值的关系，由如下 MATLAB 命令容易验证上述结果的正确性。
MATLAB 程序：exe938.m
A=[-1 -1 0;-1 0 3;0 3 2]; eig(A)
9-39 确定下列二次型函数中待定系数的取值范围，使其成为正定的二次型函数：
(1) \(V(\boldsymbol{x})=x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3-2x_1x_3\)；
(2) \(V(\boldsymbol{x})=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+2x_1x_2-4x_2x_3-2x_1x_3\)。
解 (1) 写出二次型函数的向量-矩阵形式
\[V(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\1 & 2 & 1\\-1 & 1 & a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}\]
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