4-54 某系统如图 4-170 所示。现要求系统工作在欠阻尼状态，且在 \(r(t)=t\) 时的稳态误差 \(e_{ss}(\infty) \leqslant 0.2\)，试确定满足要求的 \(K\) 值范围。
图 4-170 系统结构图
解 系统开环传递函数为
\[G(s) = \dfrac{K}{s(s+3)^2}\]
为了确定系统处于欠阻尼状态的 \(K\) 值范围，需要画出 \(K\) 从 \(0 \to +\infty\) 时的根轨迹。
渐近线：\(\sigma_a = \dfrac{-6}{3} = -2\)；\(\varphi_a = \pm 60°, 180°\)
分离点：\(\dfrac{1}{d} + \dfrac{2}{d+3} = 0\)，\(d = -1\)
与虚轴交点：闭环特征方程为 \(s^3 + 6s^2 + 9s + K = 0\)，列劳斯表
| \(s^3\) | \(1\) | \(9\) |
| \(s^2\) | \(6\) | \(K\) |
| \(s^1\) | \(\dfrac{54-K}{6}\) | |
| \(s^0\) | \(9\) |
可见，交点处 \(K=54\)。由辅助方程
\[6s^2 + 54 = 0\]
求得交点处 \(\omega = \pm 3\)。
分离点处根轨迹增益：\(K_d = 1 \times 2 \times 2 = 4\)
绘出系统根轨迹图如图 4-171 所示。由图知，使闭环系统稳定，并处于欠阻尼状态下的 \(K\) 值范围为
\[4 < K < 54\]
由于图 4-170 为 I 型系统，其静态速度误差系数为
\[K_v = \dfrac{K}{9}\]
系统在斜坡输入下的稳态误差要求
\[e_{ss}(\infty) = \dfrac{1}{K_v} = \dfrac{9}{K} \leqslant 0.2\]
故应有 \(K \geqslant 45\)
于是，满足题意要求的 \(K\) 值范围为
\[45 \leqslant K < 54\]
图 4-171 系统概略根轨迹图
4-55 已知系统结构图如图 4-172 所示。要求：(1) 绘出 \(K\) 从 \(-\infty \to +\infty\) 变化时的闭环根轨迹图；(2) 确定系统稳定时的最小阻尼比。
解 (1) 绘制根轨迹图。
由图知