图 3-62 控制系统结构图
\[G(s) = \dfrac{10}{s(0.1s+1)(0.4s+1)}\]
当仅考虑有用信号 \(r(t)=10t\) 作用即 \(R(s)=\dfrac{10}{s^2}\) 时,由系统的开环传递函数可得,该系统为Ⅰ型系统,且 \(K_v=10\),则在 \(r(t)=10t\) 作用下,系统的稳态误差为
\[e_{sr}(\infty) = \dfrac{R}{K_v} = 1\]
当仅考虑扰动信号 \(n(t)=0.1\sin 10t\) 作用时,系统的误差为
\[E_n(s) = -C(s) = -\dfrac{G(s)}{1+G(s)}N(s) = -\dfrac{10}{s(0.1s+1)(0.4s+1)+10}N(s)\]
则误差传递函数为
\[\Phi_{en}(s) = -\dfrac{10}{0.04s^3+0.5s^2+s+10}\]
由于 \(n(t)=0.1\sin 10t\),即 \(\omega=10\),则
\[A[\Phi_{en}(j\omega)] = |\Phi_{en}(j10)| = \left|\dfrac{10}{-j0.04\omega^3+j\omega-0.5\omega^2+10}\right|_{\omega=10}\]
\[= \dfrac{10}{\sqrt{(10-50)^2+(10-40)^2}} = \dfrac{10}{50} = 0.2\]
\[\angle[\Phi_{en}(j\omega)] = \angle\left(\dfrac{10}{-j0.04\omega^3+j\omega-0.5\omega^2+10}\right|_{\omega=10}\right)\]
\[= \angle\left(\dfrac{10}{-40-j30}\right) = -36.87°\]
则扰动信号作用下,系统输出为
\[c_n(t) = 0.02\sin(10t-36.87°)\]
故稳态误差的最大值为
\[\max(e_{ss}(\infty)) = 1+0.2\times0.1 = 1.02\]
初始状态为零时的输出响应 \(c(t)\) 曲线如图 3-63 所示。
MATLAB 程序:exe358.m
num1=[10]; den1=[0.1 1 0]; num2=[1]; den2=[0.4 1]; numh=[1]; denh=[1];
[numg,deng]=series(num1,den1,num2,den2);[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);
t=0:0.001:5; u=10*t+0.1*sin(10*t); figure, lsim(num,den,u,t);
3-59 已知单位反馈控制系统的开环传递函数 \(G(s)=\dfrac{22}{(s+1)(s+3)}\),系统输入量为 \(r(t)\),输出量为 \(c(t)\)。要求:(1) 当 \(r(t)=1(t)\) 时,\(c(t)\) 的最大值和稳态值;(2) 当 \(r(t)=A\sin\omega t\) 时,选取 \(\omega\) 值使系统稳态输出的振幅最大,并求出此最大振幅。
解 (1) 根据题意可得系统的闭环传递函数为