第02讲 完整转录（老师原话清洗版）

注：这是语音识别稿，有一些同音错别字（例：“食欲/十域”=时域，“抚平域/辅频域”=复频域，“定长”=定常，“必系数”=变系数，“辅阻抗”=复阻抗，“虚段”=虚断，“拉时/拉伸”=拉氏，“眉心/霉菌/梅心/培训”=梅森，“跟轨级”=根轨迹，“诊断环节”=振荡环节，“有缘/无缘”=有源/无源）。原文照录，纠正见讲解笔记。

各位同学，大家好，欢迎来到考试点，今天呢，我们接着来讲解自动控制原理的第二章。在上一讲的内容当中，我们重点了解了关于自动控制原理的一些基本概念以及相关的术语。能够分析控制系统的基本组成以及相应的工作原理，那么第二章我们重点要学习的呢，是控制系统的数学模型。我们在前面的内容当中曾经提到过，在经典控制理论当中有三个重要的理论基石。这三个重要的理论基石呢，分别是时域分析法，根轨迹法以及频域分析法。

那么，这三种方法只不过是我们分析系统性能的一种手段，而不管是采用哪一种方法，我们都离不开控制系统它的数学模型。所谓的数学模型是什么呢？是我们依据系统的工作原理抽象出来的一些数学表达式，或者是一些图形。那么在这一讲当中，我们将重点了解这样的几种数学模型。第一种时域当中的数学模型叫做微分方程，那么在微分方程这种数学模型当中，我们要了解以下几个方面。首先，第一微分方程它的建立以及怎么样化成标准化，什么叫做标准化呢？所谓的标准化，是指我们把微分方程的左右分别按照输出和输入的各阶导数，以及导数从高到低的次序来排列。此外，微分方程当中，除了线性系统之外，还有一些非线性系统它的微分方程。那么，列写这些微分方程的目的是什么呢？我们要通过这些微分方程的解来分析系统的性能。

这是我们在时域当中要见到的一种数学模型，那么这种数学模型它的列写呢，是有一定的技巧的。也就是说我们拿到一些系统以后，首先我们要来分析这些系统，它的工作性质究竟是什么样的系统，是力学系统呢，还是热力学系统，或者是电学系统？按照这些系统所依据的物理定律，比如说力学系统依据的呢，主要是牛顿第二定律，而电学系统呢，主要依据的是基尔霍夫电压或者电流定律。列出来原始平衡方程，对这些原始平衡方程呢进行化解，得到标准形式，并且利用微分方程的求解来得到微分方程的解，从这些解当中我们来分析控制系统的性能。

第二种也是非常重要的一种数学模型，是复频域当中的传递函数。这种数学模型在经典控制理论当中是占着举足轻重的作用，我们后边的每一章的学习都离不开这种数学模型。那么，对于这样的一种数学模型，我们要了解它的定义以及它的一些性质，尤其是传递函数的一些性质，在我们分析系统的响应的时候呢，也会起到简化的作用。还有传递函数在描述系统的时候是不是还有一些局限性呢？我们也需要了解。那么，还需要了解一些常用的控制元件它的数学模型，也就是它的传递函数。那么，传递函数我们常见的表现形式有几种，这些表现形式有什么样的特点？我们将重点见到两种表现形式，一个呢是以零极点的模型形式来表现的，我们可以把它写作一个系统，它的传递函数等于所对应的所有的系统的零点它的乘积，比上所有的极点它的乘积。那么这种数学模型在我们第四章根轨迹法它的学习当中呢，经常会见到。

除了这种数学模型之外，还有一种数学模型呢，是以典型环节的形式来表述的。也就是说，这个系统的数学模型，我们能够把它写作有一些比例环节，或者是一阶的惯性环节，或者是二阶的、一阶的微分环节，或者呢是二阶的微分环节，再比如说积分环节、一阶的惯性环节，或者是二阶的振荡环节等等，这样的形式来表示的。那么这样的一种数学模型的形式呢，我们在频率分析法当中经常会见到。那么传递函数这种数学模型在各种考研的试卷当中求系统的传递函数，这样的考题我们都会见到，所以呢，这种数学模型的形式我们要非常熟练的掌握。

除此之外，还有一种数学模型是以图形的形式来表示的，我们把它叫做动态结构图。那么，动态结构图我们要掌握它的绘制原则，也就是说，给你一个抽象的物理系统以后，你如何能从这样的物理系统当中分析它的工作原理，进而建立它的动态结构图。那么这种动态结构图的建立，我们是有一定的建立技巧的，这个呢，我们在后边会讲到。那么，这种动态结构图绘制出来以后没有完，我们还需要对动态结构图来进行等效，得到系统最终的传递函数，从而分析它的性能。那么，在动态结构图的等效当中呢，我们经常会见到这样的几种等效原则，比如说串联、并联以及反馈，还有最重要的是引出点和比较点它该如何移动，这个呢，我们在后面也会详细讲解。

那么，在各个院校的考研试题当中，动态结构图的化简即使不是以专门的题目的形式来出现，也会在各种题型当中出现。因为呢，从它的动态结构图建立它的传递函数，是分析系统它的一个基础，所以这种动态结构图的等效，我们也需要牢牢的掌握。而这种等效，我并不提倡大家采用动态结构图化简的方式，因为这种动态结构图化简的方式呢，在遇到了引出点和比较点相互交叉的时候，经常容易出错。那么我们该怎么办呢？这在我们的下一种数学模型信号流图的化简当中，我们会学习到一种更简便的方法。

那么信号流图和动态结构图一样，都是图形形式的数学模型。那么二者的区别在哪里呢？信号流图除了可以描述线性系统之外，对于非线性系统呢，我们一样可以来进行描述。那么信号流图的绘制有两种方式，一个，如果时域当中的微分方程或者代数方程我们已经知道了，那么我们可以直接从方程当中来绘制它的信号流图；如果结构图也就是动态结构图我们已经知道了，那么从动态结构图当中，我们也能够绘制信号流图。其实，信号流图的绘制呢并不重要，因为呢，我们只要知道了动态结构图，再利用我们下边要重点提到的一个公式——梅森增益公式，那么我们对于任何系统它的传递函数都可以很容易的来获得。梅森增益公式呢，我们在后边详细的会讲。那么，这样的一个公式在我们第二章的学习当中呢，也需要大家牢牢的掌握。

那么，刚才我们讲了，传递函数是控制系统当中非常重要的一种数学模型，我们在考试当中会直接或者间接的见到传递函数的求解。这种求解会以什么样的形式出现呢？首先，它可以让你来求一个控制系统它的开环或者闭环的传递函数，这在什么情况下呢？给了你动态结构图或者是信号流图，那么这就涉及到了动态结构图和信号流图它的化简。此外，我们还会见到，比如说一个系统它是一个多输入的系统，它既有参考输入的作用，也有扰动信号的作用。那么对于这样的系统，分别在不同输入信号作用下所对应的传递函数或者是误差传递函数，它的求解在考研的各种试题当中呢，我们也会见到。

那么在第二章的学习当中，我们重点要掌握的就是这样的三个问题：一个呢，传递函数该如何求取？此外，动态结构图它的化简我们可以如何简便的进行？再有，梅森增益公式它的使用。那么下边呢，我们从重要的知识点开始了解起。

刚才我们说过了，在控制系统的数学模型当中，传递函数占着举足轻重的作用。那么什么是传递函数呢？所谓的传递函数，它的定义是有这样的几个前提条件的。首先，传递函数它针对的是线性的定常系统，那么非线性的系统，或者这个系统它是一个变系数的，那么这样的系统我们都不能用传递函数来描述它的数学模型。再有，它在零初始条件下——所谓的零初始条件是指的什么呢？也就是指在时间 t=0 时刻，输出还有输出的各阶导数，它们都应该等于零；此外，在零时刻系统是没有输入的，在 t=0 时刻，这是零初始条件它的定义。在满足了这样的两个前提条件的情况下，输出的拉氏变换和输入的拉氏变换的比值，我们把它定义为系统的传递函数。

那么传递函数它和其他的各种数学模型之间是不割裂的，它们之间是可以相互转化的。比如说，如果现在我们已经知道了时域当中的数学模型微分方程，那么这种微分方程和传递函数是可以相互转化的。这是一个 n 阶线性定常系统在时域当中的数学模型，一个 n 阶的微分方程，那么这样的一个 n 阶微分方程，我们只要把其中所对应的微分算子全部转化为复频域当中的变量 s，那么这个微分方程我们就可以转化成系统的一个传递函数了。当我们把这个微分方程当中的每一个微分算子用 s 替代以后，微分方程就变成了这样的形式：a0 s 的 n 次方乘 C(s)，再加上 a1 s 的 n-1 次方乘 C(s)，一直加到 a(n) 乘 C(s)，等于 b0 s 的 m 次方乘 R(s)，再加上 b1 s 的 m-1 次方乘 R(s)，一直加到最后一项 bm 乘 R(s)。按照传递函数的定义，在零初始条件下输出与输入拉氏变换的比值叫做传递函数，我们可以得到相应传递函数的标准形式。那么传递函数和微分方程之间是存在着一一对应的关系，也就是说，我们知道了微分方程是可以很容易的得到它的传递函数；反过来，如果传递函数我们已经知道了，我们只要把其中的复变量 s 置换为微分算子，反过去我们一样可以得到时域当中的微分方程。这是我们提到的传递函数它的定义。

那么传递函数这样的一种数学模型，有着它自身的一些性质，而这些性质对于我们分析系统而言也是非常重要的，这些性质包括以下几种。首先，由于现实世界当中能量的传递总是有限的，所以微分方程它的输出端的阶次总是会高于输入端的阶次，那么所对应的传递函数它的分子多项式的阶次就一定会低于、最多能够达到等于分母多项式的最高阶次。并且我们的传递函数描述的是一个线性定常的系统，所以所对应的所有系数都是实数。那么这是传递函数的第一个性质。

第二个性质，传递函数描述的是系统输入输出之间的关系式，这种关系式它只取决于系统的结构参数，而和系统输入信号是什么是没有关系的。也就是说，传递函数是系统的一种固有属性，它和外加的激励是没有关系的，当然和系统的初始条件也没有关系，这从传递函数的定义当中我们就能够了解——传递函数是在零初始条件下我们来定义的。这是传递函数的第二个性质。

第三个性质，传递函数和微分方程之间是可以相互转换的，因此也是一一对应的，这个不需要再多说。

第四个性质，是我们在有些考研试卷当中做题的时候会见到的。这个性质是这样描述的：传递函数的拉氏反变换，是系统的单位脉冲响应。为什么会这样呢？我们来观察一下传递函数，我们是这样定义的：它等于输出的拉氏变换与输入的拉氏变换在零初始条件下所对应的比值。而当外加的激励是一个单位脉冲信号的时候，也就是说当 r(t) 等于 δ(t) 的时候，这个时候冲击信号也就是脉冲信号的拉氏变换是等于 1 的，所以这个时候系统的输出的拉氏变换也就等于输入的拉氏变换和传递函数的乘积。那么这个时候对这个复频域当中的方程两侧来取拉氏反变换，我们可以得到在时域当中单位脉冲信号作用下的输出响应，就应该等于我们对传递函数来做一个拉氏反变换。那么这个性质在很多试卷的填空题或者是简单的一些计算当中，我们会用到。

最后一个性质，传递函数只是对于系统的数学描述，并不反映系统的物理构成，这句话是什么意思呢？我们来看一下这样的两个系统。一个是我们在电路当中经常会见到的一种二阶系统，那么在这样的一个二阶电路当中，由于电容和电感的存在，两个惯性元件，所以在时域当中描述这个系统的微分方程将会是一个二阶的常系数的微分方程。而另一个系统，是我们经常也会见到的一种力学系统，这个力学系统它的工作呢是这样的：一个物体现在在弹簧和阻尼器它的共同作用下处于平衡状态，现在我加了一个外力，原来的平衡被打破。由于这个力学系统当中它存在了两个惯性元件——当然我们认为这个弹簧也好、阻尼器也好，它都是线性的工作，而且我们认为这个物体可以作为一个集中参数的质点来处理——那么在这种情况下描述这个力学系统的数学模型，也是一个二阶的常系数的微分方程。那么这样的两个系统，它们的物理性质是截然不同的，所处的领域也不同，一个是电学当中的二阶电路，另一个是力学系统。它们虽然外在的表现形式不一样，也就是说它们的物理构成不同，但是由于描述它们二者的数学模型都是一个二阶常系数的微分方程，所以只要我们这两个系统当中所对应的元件参数配置的恰当，我们完全可以在实验室当中用一个二阶电路来分析一个类似的力学系统它的工作性质。因此呢，我们认为传递函数只是对系统的一种抽象的数学描述，它并不反映系统的具体组成，不同形式的系统它可能会具有相同的传递函数。

这是我们对传递函数这种数学模型做了一些知识点的回顾。那么怎么样来建立这些系统的数学模型呢？我们可以采用这样的方法。第一种，想要求系统的传递函数，我们可以先分析系统的工作原理，利用它的工作原理列出来系统的动态结构图，然后利用动态结构图的化简，或者是直接在动态结构图当中利用梅森公式，我们可以求得系统的传递函数。除此之外，如果现在我们得到的数学模型是时域当中的微分方程，那么只要对这样的一些微分方程消去中间变量，然后得到一个仅仅和输入与输出有关的微分方程，我们只要把微分算子用 s 来取代，一样可以得到系统的传递函数。当然，如果系统的数学模型已知的是信号流图，那么我们可以在信号流图上面直接运用梅森增益公式来求系统的传递函数。

那么，对于控制类的考生来说，最为常见的实际系统有这样的一些：无源网络，比如说 RLC 电路；有源网络，比如说一些由理想运放搭建而成的模拟电路；再有简单的电气控制系统，比如说一些简单的电力拖动，或者说运动控制系统。怎么样来建立它的数学模型？由于微分方程和传递函数之间是一一对应的关系，因此我们可以首先拿到系统以后分析系统的工作原理。比如说无源网络，我们可以用基尔霍夫电压或者电流定律来列写它的电流和电压之间的微分方程，然后消去中间变量得到系统最终的微分方程。那么也有可能拿到的是有源网络，对于有源网络怎么办呢？我们可以利用理想运放它的虚短和虚断的性质来列写出来有源网络的输入输出之间的关系。那么如果拿到的是运动控制系统，这个时候也好办，我们可以利用运动控制系统当中学到的一些运动的平衡方程来列写它的微分方程，列写微分方程以后，当然传递函数我们也就知道了。

那么有同学会说，如果拿到有源网络或者是无源网络，有没有那么麻烦呢？其实没有那么麻烦。拿到了电路，不管是有源还是无源的，这个时候我们可以直接利用电路当中的复阻抗法来列写系统的传递函数。这个呢，我们可以举一个例子。比如说现在这是一个有源网络，这个有源网络它的输入端是一个电阻元件，而它的输出端呢是一个电容元件，那么这个时候我们要分析这个有源网络它的工作，我们可以考虑这样做：直接在电路当中把 RLC 元件用复阻抗来表示。电阻所对应的复阻抗仍然是 R，而电容所对应的复阻抗呢是 1/(Cs)。那么这样的话，想要知道这个有源网络输入输出之间的关系，我们就可以直接得到——利用理想运放的虚短和虚断的原理，我们可以得到流入 A 点的电流等于流出 A 点的电流，同时 A 点和 B 点是等电位的，它们的电位都等于零。在这种情况下，输入和输出的拉氏变换的比值就等于 1/(Cs) 比上一个 R，也就等于 1/(RCs)。那么很明显，这样的一个有源网络它是一个积分器，这个电路完成的功能是对电容来进行充电、电荷的转移。所以拿到了电网络以后，我们直接用复阻抗可以求得系统的传递函数。

那么，常见的图形形式的数学模型有两种，分别是动态结构图和信号流图。这两种形式的数学模型是描述系统各个元部件之间的信号传递关系的一种图形，那么这两种图形的绘制我们是有一定技巧的。那么在考试当中常见的呢，是动态结构图的绘制。动态结构图的绘制呢，我们可以分两步走：第一步化整为零，比如说这样的一个电路，它是一个二阶的 RC 电路，那么这个二阶的 RC 电路我们要想绘制它的动态结构图，我们可以把电路划分为两个部分，也就是说两个一阶的 RC 电路。但是要注意一个问题，后一级 RC 电路它是前一级 RC 电路的负载，所以我们需要在考虑负载效应的情况下，分别列写系统当中每一个部分所对应的时域方程或者是复频域方程。这是第一步。第二步呢，我们要做的是集零为整，也就是说在我们把各个部分所对应的方程列写出来以后，我们按照信号流动的单向性，用信号线把两个部分或者是诸多个部分之间依次连接起来。而对于信号流图而言，由于考试当中我们很少让大家绘制信号流图，所以这个部分考生可以不需要太多的掌握。

对于动态结构图而言，我们常见到的动态结构图它的基本连接方式有三种，这在动态结构图的化简当中我们都会遇到，这三种方式分别叫做串联、并联和反馈，它们所对应的化简是比较简单的。那么动态结构图的化简只是一种手段而已，在通过结构图变换使系统当中只出现三种基本形式以后，我们就可以直接来求系统的传递函数了。当然，在结构图的变换和化简过程当中，我们只能减少或者增加一些中间变量，但是各个数学变量之间的关系是不会发生改变的。最常见的变换方式有这样的几种，第一，比较点的前移。那么比较点前移也好，比较点后移也好，这些等效变换我们要掌握的一个原则是，在变换前后系统的输出没有发生改变。比如说我们来看这样的两种变换：在比较点前移之前，系统的输出等于 X1(s) 乘 G(s) 加减一个 X2(s)；而在做了等效变换之后，系统的输出等于多少呢？按 X1(s) 加减一个 X2(s) 乘以 1/G(s) 再来乘以一个 G(s)，那么稍作整理以后，我们发现这个时候系统的输出仍然等于 G(s) 乘以 X1(s) 再加减一个 X2(s)。也就是说，在我们做了等效变换前后，系统的输出是没有发生改变的。比较点的前移如此，比较点的后移，乃至于引出点的前移和后移，都是这样的。

这个没有问题，但是在做动态结构图的化简的时候，我提醒大家要格外注意一个问题，也就是说如果遇到了比较点和引出点相互交叉的情况，那么在这种情况下不适宜采用化简的方式来对动态结构图做简化。那么我们可以怎么做呢？我提议大家熟练的掌握梅森公式。梅森公式可以直接从动态结构图或者是信号流图当中求出来系统的传递函数，那么这种方法只需要我们能够找清楚前向通道，找清楚独立回路，那么这个时候牢记梅森公式，将会使我们的解题得到极大的简化。对于梅森公式，我们需要重点来提醒大家的是这样的一个问题，经常大家容易搞错的是在这里：也就是在求它的特征多项式的时候，会存在一个求两两互不接触的回路、三三互不接触的回路这样的一个问题。那么在特征多项式当中，考生经常会把这样的一些项漏掉。如果我们能够很清楚的找到前向通道、独立回路，并且能够不遗漏的找到所对应的两两或者三三互不接触的回路，那么这个时候求系统的传递函数将会是一件非常简单的事情。

这是我们第二章所接触到的一些重要的知识点。那么在考研的过程当中，我们所接触到的第二章当中能够见到的一些考点主要出现在哪里呢？第一，如何来建立控制系统的微分方程，这常见的就是我们的有源或者无源网络怎么列它的微分方程；以及传递函数的概念、传递函数的性质以及传递函数的表示形式。表示形式呢，我们刚才提到过了有两种，一种叫做零极点的模型形式，还有一种叫做典型环节相互串联的形式。那么在这两种形式之间，要让大家注意区分两个概念。一个，在零极点的模式当中，我们会接触到根轨迹增益的概念，也就是说如果我们把一个系统的开环传递函数用零极点的模型来表示，比如说某个系统它的开环传递函数我们写作 K*，分子是 i 从 1 到 m 的 (s+zi) 相乘，分母是 j 从 1 到 n 的 (s+pj) 相乘，那么这个时候分子分母都是以零极点相乘的形式来表示的，此时所对应的这个增益我们把它叫做根轨迹增益，这个在我们第四章的根轨迹分析法当中经常会见到。还有一种，我们的传递函数还可以表示成典型环节相乘的形式，比如说由一个系统的传递函数是由比例、一阶微分、二阶微分、惯性、积分、振荡，如果是以这样的形式来表示的时候，所对应的这个增益我们把它叫做系统增益，这个增益在分析系统的稳定性的时候我们经常会见到。这两个概念大家要加以区分，不同的传递函数的表达形式所对应的增益，它的定义是不一样的。

除此之外，我们在这一章的考研考试当中，经常还会涉及到动态结构图的等效变换以及求复杂系统的传递函数。那么第二章所涉及到的考点在考研当中是不太多的，但是这一章的考点又是非常重要的，它是我们后面三章当中考察的一个基础，所以呢，这一章的基本概念我们先复习到这里。这一讲呢，我们先讲到这里，谢谢大家。在下一讲当中，我们针对第二章的重要考点，给大家举一些典型的例题，通过这些典型的例题，我们对知识点加以巩固。谢谢大家。