\[
\boldsymbol{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{v}_2=\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{v}_3=\begin{bmatrix}1\\6\\9\end{bmatrix}
\]
以上述特征向量构造基底变换矩阵 \(\boldsymbol{P}\),并计算 \(\boldsymbol{P}^{-1}\) 可得
\[
\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{v}_1\ \ \boldsymbol{v}_2\ \ \boldsymbol{v}_3]=\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&6\\1&4&9\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{bmatrix}3&2.5&-2\\-3&-4&3\\1&1.5&-1\end{bmatrix}
\]
因此,变换后的对角线标准型为
\[
\bar{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-3\end{bmatrix},\quad
\bar{\boldsymbol{b}}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0\\-2\\1\end{bmatrix}
\]
\[
\bar{\boldsymbol{C}}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}1&1&1\\-1&-2&-3\end{bmatrix},\quad
\bar{\boldsymbol{d}}=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}
\]
(2) 系统(2)。计算可得矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值为 \(\lambda_1=0,\lambda_2=-1+\mathrm{j},\lambda_3=-1-\mathrm{j}\),分别对应特征向量
\[
\boldsymbol{v}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{v}_2=\begin{bmatrix}-0.5-0.5\mathrm{j}\\1\\-1+\mathrm{j}\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{v}_3=\begin{bmatrix}-0.5+0.5\mathrm{j}\\1\\-1-\mathrm{j}\end{bmatrix}
\]
以上述特征向量构造基底变换矩阵 \(\boldsymbol{P}\),并计算 \(\boldsymbol{P}^{-1}\) 可得
\[
\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{v}_1\ \ \boldsymbol{v}_2\ \ \boldsymbol{v}_3]=\begin{bmatrix}1&-0.5-0.5\mathrm{j}&-0.5+0.5\mathrm{j}\\0&1&1\\0&-1+\mathrm{j}&-1-\mathrm{j}\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{bmatrix}1&1&0.5\\0&0.5-0.5\mathrm{j}&-0.5\mathrm{j}\\0&0.5+0.5\mathrm{j}&0.5\mathrm{j}\end{bmatrix}
\]
因此,变换后的对角线标准型为
\[
\bar{\boldsymbol{A}}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&-1+\mathrm{j}&0\\0&0&-1-\mathrm{j}\end{bmatrix},\quad
\bar{\boldsymbol{B}}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{B}=\begin{bmatrix}4&0\\1-3\mathrm{j}&-2\mathrm{j}\\1+3\mathrm{j}&2\mathrm{j}\end{bmatrix}
\]
\[
\bar{\boldsymbol{c}}=\boldsymbol{c}\boldsymbol{P}=[0\ \ -1+\mathrm{j}\ \ -1-\mathrm{j}],\quad
\bar{\boldsymbol{d}}=[1\ \ -1]
\]
(3) 系统(3)。计算可得矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值为 \(\lambda_1=\lambda_2=-1,\lambda_3=2\),分别对应特征向量
\[
\boldsymbol{v}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{v}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\-2\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{v}_3=\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}
\]
以上述特征向量构造基底变换矩阵 \(\boldsymbol{P}\),并计算 \(\boldsymbol{P}^{-1}\) 可得
\[
\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{v}_1\ \ \boldsymbol{v}_2\ \ \boldsymbol{v}_3]=\begin{bmatrix}1&0&1\\-1&1&2\\1&-2&4\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{P}^{-1}=\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix}8&-2&-1\\6&3&-3\\1&2&1\end{bmatrix}
\]
因此,变换后的约当标准型为
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