题海 · pdf-page · p.518
由于 \(\text{rank}\boldsymbol{S}=3=n\),所以系统完全可控。
可控性矩阵的逆阵
\[\boldsymbol{S}^{-1}=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 1\\3 & 2 & -2\\-1 & -1 & 1\end{bmatrix}\]
取出 \(\boldsymbol{S}^{-1}\) 的最后一行构成行向量 \(\boldsymbol{p}_1=[-1\ -1\ 1]\),构造 \(\boldsymbol{P}^{-1}\) 阵
\[\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{p}_1\\\boldsymbol{p}_1\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{p}_1\boldsymbol{A}^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & -1 & 1\\-1 & -2 & 2\\-1 & -3 & 4\end{bmatrix}\]
由此变换阵为
\[\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 0\\2 & -3 & 1\\1 & -2 & 1\end{bmatrix}\]
则系统的可控标准型为
\[\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\bar{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{b}u=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\2 & -5 & 4\end{bmatrix}\bar{\boldsymbol{x}}+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u\]
\[y=\boldsymbol{c}\boldsymbol{P}\bar{\boldsymbol{x}}=[5\ \ -11\ \ 5]\bar{\boldsymbol{x}}\]
(4) MATLAB 验证。最后利用下列 MATLAB 程序可得系统的可控标准型实现及其基底变换矩阵。
MATLAB 程序:exe931.m
A1=[1 2 0;3 -1 1;0 2 0];B1=[2 1 1]';C1=[0 0 1];D1=0;
str=jctr(A1,B1)
[Ac,Bc,Cc,Pc]=normal_control(A1,B1,C1,D1)
9-32 已知连续时间系统 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\) 为
(1) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2 & -1 & -1\\0 & -1 & 0\\0 & 2 & 1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}7\\2\\1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{c}=[1\ \ 1\ \ 0]\);
(2) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -2 & 0\\0 & 0 & -3\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{c}=[1\ \ -1\ \ 2]\)。
如有可能,请将上述系统化为可观测标准型,并求出相应的基底变换矩阵。
解 (1) 计算可观测性矩阵
\[\boldsymbol{V}=[\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\ \ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\ \ (\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}})^2\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}]=\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\1 & -2 & -2\\0 & -1 & -3\end{bmatrix}\]
由于 \(\text{rank}\boldsymbol{V}=3=n\),因此系统可观测。
求 \(\boldsymbol{V}\) 的逆矩阵
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