考研851 自动控制原理
真题 · 真题解答(手写)

(页顶,续上题/被截断)

以下红笔演算内容位于本页最顶端,题干在本页之前(被截断,未转写)。

\[R(S)-C(S)\]
\[R(S) = \frac{G_1 G_2}{1+G_1G_2}\cdot Rs\]
\[\frac{Rs}{1+G_1G_2} = \left(\frac{2}{S} + \frac{1+2S}{2S^2}\right)\cdot \frac{S(S+1)(S+2)}{S^3+3S^2+2S+2} = \frac{(1+2S)(S+1)(S+2)}{2S(\ \ +2)}\]

(右侧算式因原图边缘截断,之后内容缺失)

右上角另有红笔小字(与上式关系不明确):

\[\frac{1\times1\times2}{2\times2}=\frac{1}{2}\]
\[4-4\times2\]

顶部左侧另有一处黑笔小框图(fig1),图中含方框标注"H"(下标看不清,疑似\(H_1\))、"\(G_2\)",右上有一个圆圈(比较符号/加法点),标注"\(N(S)\)",图形被左边缘裁切、结构不完整。

图:fig1

页面右上角原件被折角遮挡,可见红笔字迹:"\(R_V=4\)",旁边一个红笔圆圈内写着"不予..."(后半被折角遮住,无法转写)。


六、(15分)

某单位负反馈系统的开环传递函数为

\[G_1(s)=\frac{K}{s(s^2+2s+2)}\]

(1) 绘制 \(K>0\) 时的概略根轨迹,在图上标识根轨迹的渐近线。

(2) 计算根轨迹出射角(初始角),求根轨迹与虚轴相交的根轨迹增益;


\[D(s)=s^3+2s^2+2s\quad(此行被划掉,原字迹保留标注)\]

极点 \(P_{j1}=0\)\(P_{j2}=-1+j\)\(P_{j3}=-1-j\),无零点。

\[\varphi=\frac{(2k+1)\pi}{3-0}=\frac{(2k+1)\pi}{3}\qquad k=0,1,2\cdots\]

渐近线(原字迹"渐发",疑为"渐近线"简写):\(\varphi=\pm\dfrac{\pi}{3},\ \pi\)

交点(原字迹"交点",图中写作"文点"):

\[\sigma=\frac{0-1+j-1-j}{3-0}=-\frac{2}{3}\]

右侧另有一处(原字迹"鸽点",疑为"求交点"类简写):

\[\frac{1}{\alpha}+\frac{\alpha}{\alpha+1-j}+\frac{\alpha}{\alpha+1+j}=0\]

(红笔标注"(该只1一)",字迹潦草不确定原意)

由图可知:(黑笔字迹被红笔划掉一段,删除线覆盖"(\(\alpha,0\))连根"字样)

实轴上 \((-\infty,0)\) 在根轨迹上(原字迹此处也有删除线痕迹)

根轨迹渐近线图(手绘,含极点标记、渐近线虚线与实轴根轨迹段):

图:fig2

图中另有红笔补充标注:\(n=3\)\(m=0\)\(P_1=0\)\(P_2=-1+j\)\(P_3=-1-j\);以及局部放大的出射角演算图形:

图:fig3

fig3中可见红笔角度标注:"\(180°-135°\)"("\(135°\)"处又被划掉改写为"\(90°\)"),以及"\(3\)"、"\(\pm60°\)"、"\(180\)"等字样;下方黑笔另写:"\(-45°\)"、"$-1-j-1+j = \("(除以)"\)3$"(等式右侧未写完/被截断)。

(2)

\[\Theta_{PX}=180°-(135°+90°+0°)=-45°\]

同理 \(\Theta_{QX}=180°+135°+90°=45°\)(此行"\(180\)"处有涂改痕迹,改写数字看不清,右侧另有红笔小字"\(270°+1\)"、"\(\dfrac{135°}{405°}\)",与主算式关系不确定)

\[D(s)=s^3+2s^2+2s+K\]

劳斯表(Routh array):

\(s^3\) \(1\) \(2\)
\(s^2\) \(2\) \(K\)
\(s^1\) \(\dfrac{4-K}{2}\) \(0\)
\(s^0\) \(K\)
\[\frac{4-K}{2}=0 \implies K=4\]

(红笔圈注:\(K=4\)

左下角另有黑笔演算(与劳斯表并列,关系不完全明确,疑为求虚轴交点对应频率的辅助式):

\[\frac{2s(s+2)}{s^4+3s^3+2s^2+2s}\]
\[\frac{s^3+3s^2+2s}{s^3+3s^2+2s+2}\]

以及另一处:

\[\frac{25(s+2)}{s^4+3s^3+2s^2+2s}\qquad \frac{(4+K)}{2}=0 \implies K=4\]

(此处字迹与前一处劳斯表重复演算,推测为草稿重写)

红笔在劳斯表旁又写一遍:

\(s^3\) \(1\) \(2\)
\(s^2\) \(2\) \(K\)
\(s\) \(\dfrac{4-K}{2}\)
\(s^0\) \(K\)

并圈注 \(\dfrac{4-K}{2}=0 \implies R=4\)(原字迹此处写作"\(R=4\)"并加圆圈,与上文"\(K=4\)"是否为同一含义不确定)

页面最底部印有原始试卷水印文字:"北方工业大学试卷"(部分字迹被裁切,仅作来源确认,不属于解答内容)。