再次由于系统\(\{A,B\}\)完全可控,可得\(\dot{V}(x)<0\)。因此根据李雅普诺夫稳定性判据可知,所构成的闭环系统是渐近稳定的。
9-62 已知离散时间系统状态方程为
\[
x(k+1)=\begin{bmatrix}1 & 4 & 0\\-3 & -2 & -3\\2 & 0 & 0\end{bmatrix}x(k)
\]
请用两种方法判断系统是否为渐近稳定。
解 方法1:由于\(x(k+1)=\boldsymbol{\Phi}x(k)\),令\(|\lambda I-\boldsymbol{\Phi}|=0\),得系统特征根为\(0.5\pm3.4278j\)及\(-2\),位于单位圆外,系统显然不稳定。
方法2:取\(Q=I_{3\times3}\),并令\(\boldsymbol{\Phi}^{\mathrm{T}}P\boldsymbol{\Phi}-P=-Q\),其中\(P=P^{\mathrm{T}}\)。可得
\[
\begin{bmatrix}1 & -3 & 2\\4 & -2 & 0\\0 & -3 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13}\\p_{12} & p_{22} & p_{23}\\p_{13} & p_{23} & p_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 4 & 0\\-3 & -2 & -3\\2 & 0 & 0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13}\\p_{12} & p_{22} & p_{23}\\p_{13} & p_{23} & p_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}
\]
展开的代数方程为\(n(n+1)/2=6\)个,有
\[
p_{11}-6p_{12}+4p_{13}-12p_{23}+9p_{22}+4p_{33}-p_{11}=-1
\]
\[
-3p_{12}+9p_{22}-6p_{23}-p_{13}=0
\]
\[
4p_{11}-14p_{12}+8p_{13}+6p_{22}-4p_{23}-p_{12}=0
\]
\[
16p_{11}-16p_{12}+3p_{22}=-1
\]
\[
-12p_{13}+5p_{23}=0
\]
\[
9p_{22}-p_{33}=-1
\]
解得
\[
P=\begin{bmatrix}-0.0985 & -0.0683 & -0.0570\\-0.0683 & -0.2725 & -0.2151\\-0.0570 & -0.2151 & -0.5526\end{bmatrix}
\]
显然\(P\)非正定,因此系统非渐近稳定。
由下述MATLAB命令验证,可得结果完全一致。
MATLAB程序:exe965.m
A=[1 4 0;-3 -2 -3;2 0 0];eig(A)
Q=eye(3);P=dlyap(A',Q)
9-63 设非线性自治系统\(\dot{x}=f(x)\),\(f(0)=0\),系统的雅可比(Jacobi)矩阵为
\[
F(x)\triangleq\frac{\partial f(x)}{\partial x^{\mathrm{T}}}=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f_1(x)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1(x)}{\partial x_n}\\\vdots & & \vdots\\\dfrac{\partial f_n(x)}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_n(x)}{\partial x_n}\end{bmatrix}
\]
请用李雅普诺夫稳定性定理证明:当\(F(x)+F^{\mathrm{T}}(x)\)为负定时,系统的原点平衡状态\(x_e=0\)为大范围渐近稳定。(提示:取\(V(x)=f^{\mathrm{T}}(x)f(x)\))
证明 令\(V(x)=f^{\mathrm{T}}(x)f(x)\),\(\dot{x}=f(x)\),则
\[
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial V}{\partial x_1}\cdot\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial V}{\partial x_2}\cdot\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t}+\cdots+\frac{\partial V}{\partial x_n}\cdot\frac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}}f(x)
\]
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