\[
\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{p}_1 \\ \boldsymbol{p}_1\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{p}_1\boldsymbol{A}^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -0.125 & 0 & 0.25 \\ -0.125 & 0.25 & 0 \\ 0.625 & -0.5 & 0.25 \end{bmatrix}
\]
由此变换阵为
\[
\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} -2 & 4 & 2 \\ -1 & 6 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}
\]
则系统的可控标准型为
\[
\dot{\bar{x}}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\bar{x}+\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{b}u=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 9 & 0 \end{bmatrix}\bar{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u,\quad y=\boldsymbol{cP}\bar{x}=\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\bar{x}
\]
(2) 取 \(x=P\bar{x}\)，其中 \(P\) 为将非标准型化为可控标准型的变换矩阵。
可控性矩阵
\[
\boldsymbol{S}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{b} & \boldsymbol{Ab} & \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -2 & -4 \\ 2 & 6 & 16 \\ 1 & 2 & 6 \end{bmatrix}
\]
由于 \(\mathrm{rank}\,\boldsymbol{S}=3=n\)，所以系统完全可控。
可控性矩阵的逆阵
\[
\boldsymbol{S}^{-1}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} -2 & -2 & 4 \\ -2 & 7 & -20 \\ 1 & -2 & 7 \end{bmatrix}
\]
取出 \(\boldsymbol{S}^{-1}\) 的最后一行构成行向量 \(\boldsymbol{p}_1=\dfrac{1}{6}\begin{bmatrix}1 & -2 & 7\end{bmatrix}\)，构造 \(\boldsymbol{P}^{-1}\) 阵
\[
\boldsymbol{P}^{-1}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{p}_1 \\ \boldsymbol{p}_1\boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{p}_1\boldsymbol{A}^2 \end{bmatrix}=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 7 \\ -2 & 7 & -20 \\ 7 & -20 & 67 \end{bmatrix}
\]
因此变换阵为
\[
\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix} 23 & -2 & -3 \\ -2 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}
\]
则系统的可控标准型为
\[
\dot{\bar{x}}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\bar{x}+\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{b}u=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 9 & 0 \end{bmatrix}\bar{x}+\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}u,\quad y=\boldsymbol{cP}\bar{x}=\begin{bmatrix} -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}\bar{x}
\]
(3) 取 \(x=P\bar{x}\)，其中 \(P\) 为将非标准型化为可控标准型的变换矩阵。
可控性矩阵
\[
\boldsymbol{S}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{b} & \boldsymbol{Ab} & \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}
\]
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