\[G(\mathrm{j}\omega) = \frac{K}{\mathrm{j}\omega - 1}\]
利用MATLAB程序绘制\(G(\mathrm{j}\omega)\)与\(-1/N(A)\)曲线于图8-50中，由于\(G(s)=\dfrac{K}{s-1}\)在右半平面有一个极点，\(P=1\)，要使误差\(e\)趋于零，则\(G(\mathrm{j}\omega)\)与\(-1/N(A)\)曲线必须要有交点，此时有半次正穿越，\(N_+=0.5\)，则\(Z=P-2N=1-2\times0.5=0\)，由奈奎斯特判据可知，系统稳定。此时需满足条件
\[-\frac{\pi|e_0|}{4} > -K\]
即\(|e_0|<4K/\pi\)时，误差\(e\)能够趋于零。
图8-50 系统稳定性分析（MATLAB）
MATLAB程序：exe820.m
A=0:0.01:100;x=real(-0.25*pi*A);y=imag(-0.25*pi*A);
K=10;G=zpk([],[1],K);nyquist(G);hold on
plot(x,y);axis([-15 0 -6 6]);axis equal
(2) 相平面法。由结构图可知\(\dot{c}-c=Ku\)，其中非线性环节的输出为
\[u=\begin{cases}1, & e>0 \\ -1, & e<0\end{cases}\]
在比较点处\(e=r-c=-c\)，\(\dot{e}=-\dot{c}\)，综合各式可得
\[\dot{e}-e=\begin{cases}-K, & e>0 \\ K, & e<0\end{cases}\]
在\(\dot{e}\)-\(e\)相平面绘制相轨迹如图8-51(a)所示。由图8-51(a)可知，当\(|e_0|<K\)时，误差\(e\)能够趋于零。
当在Simulink环境下取系统参数\(K=5\)，初始状态\(c(0)=-5.5\)，即\(e(0)=5.5\)，设定仿真时间为3s，则此时系统的误差曲线如图8-51(b)所示。与按描述函数法分析所得的结论并不吻合，但与相平面法分析得到的结论一致。
最后，根据(1)和(2)的分析可知，由相平面法得到的结果包含于由描述函数法得到的结果之中。这是由于描述函数法是将非线性系统近似等效为一个线性系统，仅考虑非线
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