考研851 自动控制原理
题海 · 题解 · p.495

(5) MATLAB 验证。利用下述 MATLAB 命令计算，可知以上结果正确。

MATLAB 程序：exe912.m

A=[2 -1 -1;0 -1 0;0 2 1];syms s;A1=inv(s*eye(3)-A);ilaplace(A1)

9-13 设矩阵 \(A\) 为 \(2\times2\) 常数矩阵，对于系统的状态方程 \(\dot{x}=Ax\)，当 \(x(0)=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\) 时，\(x(t)=\begin{bmatrix}e^{-2t}\\-e^{-2t}\end{bmatrix}\)；当 \(x(0)=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\) 时，\(x(t)=\begin{bmatrix}2e^{-t}\\-e^{-t}\end{bmatrix}\)。试确定矩阵 \(A\)。

解 先确定状态转移矩阵 \(\boldsymbol{\Phi}(t)\)。由于 \(x(t)=\boldsymbol{\Phi}(t)x(0)\)，根据已知条件有

\[\begin{bmatrix}e^{-2t}\\-e^{-2t}\end{bmatrix}=\boldsymbol{\Phi}(t)\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}2e^{-t}\\-e^{-t}\end{bmatrix}=\boldsymbol{\Phi}(t)\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}\]

联立可得

\[\begin{bmatrix}e^{-2t}&2e^{-t}\\-e^{-2t}&-e^{-t}\end{bmatrix}=\boldsymbol{\Phi}(t)\begin{bmatrix}1&2\\-1&-1\end{bmatrix}\]

解得 \(\boldsymbol{\Phi}(t)=\begin{bmatrix}e^{-2t}&2e^{-t}\\-e^{-2t}&-e^{-t}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\-1&-1\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}2e^{-t}-e^{-2t}&2e^{-t}-2e^{-2t}\\-e^{-t}+e^{-2t}&-e^{-t}+2e^{-2t}\end{bmatrix}\)

并根据状态转移矩阵的运算性质可得

\[A=\dot{\boldsymbol{\Phi}}(t)\big|_{t=0}=\begin{bmatrix}-2e^{-t}+2e^{-2t}&-2e^{-t}+4e^{-2t}\\e^{-t}-2e^{-2t}&e^{-t}-4e^{-2t}\end{bmatrix}\bigg|_{t=0}=\begin{bmatrix}0&2\\-1&-3\end{bmatrix}\]

最后，利用下述 MATLAB 命令验证可得，所得结果完全一致。

MATLAB 程序：exe913.m

syms t

F=[exp(-2t) 2exp(-t);-exp(-2*t) -exp(-t)];

x10=[1 -1]';x20=[2 -1]';F0=[x10 x20];

phi=F*(inv(F0));dphi=diff(phi,t);A=limit(dphi,0)

9-14 已知线性定常自治系统的状态方程

\[\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}x,\quad x(0)=\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\]

求系统的状态轨线。

解 因为线性定常齐次状态方程的解为

\[x(t)=e^{At}x(0)\]

故需先求出系统的状态转移矩阵 \(e^{At}\)。由于

\[A=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix},\quad A^2=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix},\quad A^k=0,\forall k\geqslant3\]
\[e^{At}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}t^kA^k=I+At+\frac{1}{2}A^2t^2=\begin{bmatrix}1&t&\dfrac{1}{2}t^2\\0&1&t\\0&0&1\end{bmatrix}\]

故系统状态轨线为

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