考研851 自动控制原理
题海 · notes · p.24
\[\text{tr } \mathbf{A} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}\]

2. 矩阵变换

1) 子式 \(M_{ij}\)

如果从 \(n \times n\) 矩阵 \(\mathbf{A}\) 中去掉第 \(i\) 行和第 \(j\) 列所得到的是一个 \((n-1) \times (n-1)\) 矩阵，则把 \((n-1) \times (n-1)\) 矩阵的行列式称为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的子式 \(M_{ij}\)。

2) 代数余子式 \(A_{ij}\)

矩阵 \(\mathbf{A}\) 的元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式 \(A_{ij}\)，以下式定义：

\[A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

3) 伴随矩阵

矩阵 \(\mathbf{B}\)，当其第 \(i\) 行和第 \(j\) 列的元素等于矩阵 \(\mathbf{A}\) 的代数余子式 \(A_{ji}\) 时，矩阵 \(\mathbf{B}\) 称为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的伴随矩阵，记作

\[\mathbf{B} = [b_{ij}] = [A_{ji}] = \text{adj}\mathbf{A}\]

上式表明，\(\mathbf{A}\) 的伴随矩阵是以 \(\mathbf{A}\) 的代数余子式为元素所组成的矩阵的转置矩阵，即

\[\text{adj}\mathbf{A} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}\]

可以证明，下列关系式成立：

\[\mathbf{A}(\text{adj}\mathbf{A}) = (\text{adj}\mathbf{A})\mathbf{A} = |\mathbf{A}|\mathbf{I}\]

式中，\(|\mathbf{A}|\) 表示矩阵 \(\mathbf{A}\) 的行列式。

4) 矩阵的逆矩阵

对于方阵 \(\mathbf{A}\)，如果存在矩阵 \(\mathbf{B}\)，使得 \(\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}\)，则矩阵 \(\mathbf{B}\) 称为矩阵 \(\mathbf{A}\) 的逆矩阵，记作 \(\mathbf{A}^{-1}\)。假若 \(\mathbf{A}\) 的行列式不为零，即 \(\mathbf{A}\) 是非奇异的，则矩阵 \(\mathbf{A}\) 的逆矩阵 \(\mathbf{A}^{-1}\) 是存在的。

逆矩阵 \(\mathbf{A}^{-1}\) 有如下特性：

\[\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}\]

式中，\(\mathbf{I}\) 为单位矩阵。

如果矩阵 \(\mathbf{A}\) 非奇异，且 \(\mathbf{AB} = \mathbf{C}\)，则 \(\mathbf{B} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{C}\)。

如果矩阵 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) 均是非奇异的，则乘积 \(\mathbf{AB}\) 也是非奇异矩阵。此外，有

\[(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}\]

矩阵的逆矩阵求法如下：

如果

\[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\]

则矩阵的逆矩阵是其伴随矩阵除以该矩阵的行列式，即

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