题海 · 题海解析 · p.384
\[E(z)=\frac{z^2}{(ze-1)^2}=\frac{\mathrm{e}^{-2}}{1-2\mathrm{e}^{-1}z^{-1}+\mathrm{e}^{-2}z^{-2}}=\mathrm{e}^{-2}+2\mathrm{e}^{-3}z^{-1}+3\mathrm{e}^{-4}z^{-2}+4\mathrm{e}^{-5}z^{-3}+\cdots\]
故有
\[e^*(t)=\mathrm{e}^{-2}+2\mathrm{e}^{-3}z^{-1}+3\mathrm{e}^{-4}z^{-2}+4\mathrm{e}^{-5}z^{-3}+\cdots\]
(2) 采用幂级数法
\[E(z)=\frac{10z^2+10z}{z^3-1}=10(z^{-1}+z^{-2}+z^{-4}+z^{-5}+z^{-7}+\cdots)\]
则有 \(\quad e^*(t)=10[\delta(t-T)+\delta(t-2T)+\delta(t-4T)+\delta(t-5T)+\delta(t-7T)+\cdots]\)
7-5 试求 \(E(s)=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-s}}{s^2(s+1)}\) 的 \(z\) 变换。
解 求 \(z\) 变换的另一种方法是直接利用 \(z\) 变换表。先将 \(E(s)\) 展为部分分式，然后由表求每一部分分式项的 \(z\) 变换，并将它们组合在一起便可得 \(E(z)\)。
(1) 将 \(E(s)\) 展成部分分式，则有
\[E(s)=\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s^2(s+1)}=(1-\mathrm{e}^{-Ts})\left(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}\right)\]
\[=\left(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}\right)-\left(\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}\right)\mathrm{e}^{-Ts}\]
(2) 求每一个部分分式项的 \(z\) 变换：与 \(\left(\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s+1}\right)\) 相应的 \(z\) 变换为 \(\left(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}-\dfrac{z}{z-1}+\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{-T}}\right)\)，与 \(\left(\dfrac{1}{s^2}-\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s+1}\right)\mathrm{e}^{-Ts}\) 相应的 \(z\) 变换为 \(\left(\dfrac{Tz}{(z-1)^2}-\dfrac{z}{z-1}+\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{-T}}\right)z^{-1}\)，
所以
\[E(z)=(1-z^{-1})\left(\frac{Tz}{(z-1)^2}-\frac{z}{z-1}+\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-T}}\right)\]
\[=\frac{T}{z-1}-1+\frac{z-1}{z-\mathrm{e}^{-T}}=\frac{1-(T+1)\mathrm{e}^{-T}+(T-1+\mathrm{e}^{-T})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-T})}\]
\[=\frac{1-(T+1)\mathrm{e}^{-T}+(T-1+\mathrm{e}^{-T})z}{z^2-(1+\mathrm{e}^{-T})z+\mathrm{e}^{-T}}\]
令 \(T=1\)，有
\[E(z)=\frac{1-2\mathrm{e}^{-1}+\mathrm{e}^{-1}z}{z^2-(1+\mathrm{e}^{-1})z+\mathrm{e}^{-1}}=\frac{0.368z+0.264}{z^2-1.368z+0.368}\]
7-6 确定下列函数的初值和终值：
(1) \(E(z)=\dfrac{z^2}{(z-0.8)(z-0.1)}\)； (2) \(E(z)=\dfrac{Tz^{-1}}{(1-z^{-1})^2}\)。
解 (1) 由终值定理可得
\[e_s(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})\frac{z^2}{(z-0.8)(z-0.1)}=0\]
再由
\[E(z)=\frac{z^2}{(z-0.8)(z-0.1)}=\frac{1}{1-0.9z^{-1}+0.08z^{-2}}=1+0.9z^{-1}+0.73z^{-2}+\cdots\]
可得 \(\quad e(0)=1\)
(2) 由终值定理可得
\[e_s(\infty)=\lim_{z\to1}(1-z^{-1})\frac{Tz^{-1}}{(1-z^{-1})^2}=\infty\]
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