图 2-6 装有倒置摆的小车示意图
图 2-7 倒置摆球受力图
根据力的平衡原则,在 \(x\) 方向及垂直于摆杆的方向上,可以分别列出如下运动方程:
\[u(t)=M\frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2}+m\left[\frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2}+\frac{\mathrm{d}^2(l\sin\varphi(t))}{\mathrm{d}t^2}\right]\]
\[mg\sin\varphi(t)=J\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t^2}+m\frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2}\cos\varphi(t)\]
联立求解得
\[[(M+m)J-m^2l\cos^2\varphi(t)]\frac{\mathrm{d}^2\varphi(t)}{\mathrm{d}t^2}+m^2l\sin\varphi(t)\cos\varphi(t)\left[\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}\right]^2\]
\[-(M+m)mg\sin\varphi(t)+mu(t)\cos\varphi(t)=0\]
这是非线性运动微分方程。当 \(\varphi(t)\) 较小时,取
\[\sin\varphi(t)\approx\varphi(t),\quad \cos\varphi(t)\approx 1\]
略去 \(\varphi^2(t)\) 高次项,得如下线性运动微分方程:
\[[(M+m)J-m^2l]\frac{\mathrm{d}^2\varphi(t)}{\mathrm{d}t^2}-(M+m)mg\varphi(t)=-mu(t)\]
或写为
\[\left[ml-J\left(\frac{M}{m}+1\right)\right]\frac{\mathrm{d}^2\varphi(t)}{\mathrm{d}t^2}+(M+m)g\varphi(t)=u(t)\]
2-11 设有一用热电偶测量热容器温度的温度测量装置,热电偶的热阻为 \(R_1\),热容为 \(C_1\),时间常数 \(T_1=R_1C_1\),重量为 \(M_1\);热容器的热阻为 \(R_2\),热容为 \(C_2\),时间常数 \(T_2=R_2C_2\),重量为 \(M_2\)。假设热电偶与热容器比热 \(C_p\) 相同,且热电偶-热容器组合系统的热阻为 \(R\),热容为 \(C\),重量为 \(M\),时间常数为 \(T\)。试证明
\[T=\frac{T_1T_2(M_1+M_2)}{T_1M_2+T_2M_1}\]
(提示:\(C=MC_p/g\),\(g\) 为重力加速度;\(1/R=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\)。)
证明 由题意可知
\[T=RC=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\cdot\frac{(M_1+M_2)C_p}{g}\]
又
\[C_1=M_1C_p/g,\quad C_2=M_2C_p/g\]
故
\[C_p=C_1g/M_1=C_2g/M_2\]
即
\[T=RC=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\cdot\frac{(M_1+M_2)C_p}{g}=\dfrac{M_1+M_2}{\dfrac{1}{R_1}\cdot\dfrac{g}{C_p}+\dfrac{1}{R_2}\cdot\dfrac{g}{C_p}}\]
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