(2) 待校正系统开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{(1-\mathrm{e}^{-Ts})}{s(s+1)^2}\right]\]
\[=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2}\right]\]
\[=\frac{z-1}{z}\left[\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-1}}-\frac{z\mathrm{e}^{-1}}{(z-\mathrm{e}^{-1})^2}\right]\]
\[=\frac{0.2642z+0.1353}{(z-0.3679)^2}\]
由于待校正系统为0型系统,为了满足无稳态误差要求,在\(D(z)\)中需包含一个\(z=1\)的极点。对单位阶跃输入设计最少拍系统,闭环误差脉冲传递函数为
\[\Phi_e(z)=1-z^{-1}\]
校正装置为
\[D(z)=\frac{1-\Phi_e(z)}{G(z)\Phi_e(z)}=\frac{(z-0.3679)^2}{(0.2642z+0.1353)(z-1)}\]
则闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=z^{-1}\]
系统单位阶跃响应曲线形状如图7-35所示,但应取\(T=1\)。
MATLAB文本:exe727b.m
T=1;t=0:1:10;sys=tf([1],[1,0],T);
step(sys,t);axis([0,10,0,1.2]);grid;
(3) 待校正系统开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{4(1-\mathrm{e}^{-Ts})(s+1)}{s^2(s+2)}\right]\]
\[=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s}+\frac{2}{s^2}-\frac{1}{s+2}\right]\]
\[=\frac{z-1}{z}\left[\frac{z}{z-1}+\frac{2z}{(z-1)^2}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-2}}\right]\]
\[=\frac{2.8647z-1.1353}{(z-1)(z-0.1353)}\]
可见,待校正系统为I型系统,在单位阶跃输入下,不存在稳态误差。
对单位阶跃输入设计最少拍系统,闭环误差脉冲传递函数为
\[\Phi_e(z)=1-z^{-1}\]
校正装置为
\[D(z)=\frac{1-\Phi_e(z)}{G(z)\Phi_e(z)}=\frac{z-0.1353}{2.8647z-1.1353}\]
则闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=z^{-1}\]
系统单位阶跃响应曲线形状如图7-35所示,但应取\(T=1\)。
MATLAB文本:exe727c.m
T=1;t=0:1:10;sys=tf([1],[1,0],T);
step(sys,t);axis([0,10,0,1.2]);grid;
7-28 用\(z\)变换法求解差分方程
\[c^*(t+2T)-6c^*(t+T)+8c^*(t)=r^*(t)\]