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第二部分(任选两题) 现代控制理论部分 (30%)
1. (15分)
已知非线性系统状态方程:
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1 = x_2 \\
\dot{x}_2 = -\left(a_1 x_1 + a_2 x_1^2 x_2\right)
\end{cases}
\]
试证明在\(a_1>0\)，\(a_2>0\)时系统是大范围渐近稳定的。
2. (15分)
设\(\Sigma_1\)，\(\Sigma_2\)为两个能控且能观的系统
\[
\Sigma_1: \quad A_1=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ ? & -2 \end{bmatrix}, \quad b_1=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad c_1=\begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix}
\]
\[
\Sigma_2: \quad A_2=-2, \quad b_2=1, \quad c_2=1
\]
(1)
试分析由\(\Sigma_1\)和\(\Sigma_2\)所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。
(2)
试分析由\(\Sigma_1\)和\(\Sigma_2\)所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。
3. (15分)
设系统的传递函数为:
\[
\frac{(s-1)(s+2)}{(s+1)(s-2)(s+3)}
\]
试问可否利用状态反馈将其传递函数变成: \(\dfrac{(s-1)}{(s+2)(s+3)}\) 若能，
试求状态反馈矩阵，并画出系统结构图。