题海 · solution · p.513
\[
\boldsymbol{S}_o=\begin{bmatrix}\boldsymbol{CB} & \boldsymbol{CAB} & \boldsymbol{CA}^2\boldsymbol{B} & \boldsymbol{D}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{bmatrix}
\]
由于 rank\(\boldsymbol{S}_o\)=2<\(q\)=4,所以系统输出不可控。
(5) 系统(5)。系统的可控性矩阵为
\[
\boldsymbol{S}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{b} & \boldsymbol{Ab} & \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b} & \boldsymbol{A}^3\boldsymbol{b} & \boldsymbol{A}^4\boldsymbol{b}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0&0&1\\0&0&0&1&-2\\0&0&1&-2&0\\0&1&-2&0&2\\1&-2&0&2&1\end{bmatrix}
\]
由于 rank\(\boldsymbol{S}\)=5=\(n\),所以系统可控。
系统的输出可控性矩阵为
\[
\boldsymbol{S}_o=\begin{bmatrix}\boldsymbol{Cb} & \boldsymbol{CAb} & \boldsymbol{CA}^2\boldsymbol{b} & \boldsymbol{CA}^3\boldsymbol{b} & \boldsymbol{CA}^4\boldsymbol{b} & \boldsymbol{d}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&-1&2&1&0\\-2&0&2&-4&-2&0\end{bmatrix}
\]
由于 rank\(\boldsymbol{S}_o\)=1<\(q\)=2,所以系统输出不可控。
(6) MATLAB验证。最后利用下列MATLAB程序,并调用可控性判断函数jctr和输出可控性判断函数jctro来验证上述计算,所得结果完全一致。
MATLAB程序:exe927.m
A1=[0 1 -1;-6 -11 6;-6 -11 5];B1=[-1 2 1]';C1=[1 0 0;0 1 -1];D1=[2 -1]';
str1=jctr(A1,B1)
str2=jctro(A1,B1,C1,D1)
9-28 确定使下列系统可控且可观测的待定常数\(\alpha_i\)和\(\beta_i\)(\(i\)=1,2):
(1) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\alpha_1&1\\0&\alpha_2\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}1&-1\end{bmatrix}\);
(2) \(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&0&2\\1&0&-3\\0&1&-4\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\\beta_1\\\beta_2\end{bmatrix}\),\(\boldsymbol{c}=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}\)。
解 (1) 系统(1)。设系统的可控性和可观测性矩阵分别为
\[
\boldsymbol{S}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{b} & \boldsymbol{Ab}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1+\alpha_1\\1&\alpha_2\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&\alpha_1\\-1&1-\alpha_2\end{bmatrix}
\]
若系统可控可观测,则要求 rank\(\boldsymbol{V}\)=2=\(n\),rank\(\boldsymbol{S}\)=2=\(n\),即det\(\boldsymbol{V}\neq0\),det\(\boldsymbol{S}\neq0\),则应有
\(\alpha_2\neq1+\alpha_1\)。
(2) 系统(2)。设系统的可控性和可观测性矩阵分别为
\[
\boldsymbol{S}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{b} & \boldsymbol{Ab} & \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{b}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\beta_2&2\beta_1-8\beta_2\\\beta_1&1-3\beta_2&-3\beta_1+14\beta_2\\\beta_2&\beta_1-4\beta_2&1-4\beta_1+13\beta_2\end{bmatrix}
\]
\[
\boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} & (\boldsymbol{A}^2)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&2\\0&2&-8\end{bmatrix}
\]
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