图 7-54 闭环采样系统结构图
针对单位斜坡输入，最少拍系统的闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z) = 2z^{-1} - z^{-2}\]
则有
\[D(z) = \frac{\Phi(z)}{G(z)(1-\Phi(z))}\]
\[= \frac{(2z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}{10(z-1)(\mathrm{e}^{-1}z+1-2\mathrm{e}^{-1})}\]
\[= \frac{(2z-1)(z-0.3679)}{(z-1)(3.679z+2.642)}\]
输出响应曲线如图 7-55 所示。
图 7-55 系统单位斜坡响应（MATLAB）
MATLAB 文本：exe738.m
T=1;t=0:1:10;
sys=tf([2,-1],[1,0,0],T);
u=t;lsim(sys,u,t,0);grid;
7-39 采样系统的结构图如图 7-56 所示。要求：(1) 求系统闭环脉冲传递函数 \(\dfrac{C(z)}{R(z)}\)；(2) 当初始条件为零，输入量 \(r(t)\) 为单位阶跃函数时，求系统的输出 \(c(k)\)，\(k=0,1,2,3\)，并画出其波形图。
图 7-56 闭环采样系统结构图
解 (1) 求 \(C(z)/R(z)\)。系统开环脉冲传递函数为
\[G(z) = \mathscr{Z}\left[\frac{0.5\mathrm{e}^{-Ts}}{s(0.5s+1)}\right] = z^{-1}\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s(s+2)}\right]\]
\[= \frac{1}{2z} \cdot \frac{(1-\mathrm{e}^{-2})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-2})} = \frac{0.4323}{(z-1)(z-0.1353)}\]
闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z) = \frac{C(z)}{R(z)} = \frac{G(z)}{1+G(z)} = \frac{0.4323}{z^2 - 1.1353z + 0.5676}\]
(2) 求输出 \(c(k)\)。输入 \(z\) 变换为
\[R(z) = \frac{z}{z-1}\]
则有
\[C(z) = \Phi(z)R(z) = \frac{0.4323z}{z^3 - 2.1353z^2 + 1.7029z - 0.5676}\]