图 9-17 控制系统结构图
\[
\begin{bmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\\\dot{x}_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2 & 1\\a & 0\\b & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c & 0 & d\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}
\]
解 (1) 判断图示系统。
由结构图得
\[\dot{x}_1=-ax_1+bx_2+u\]
\[\dot{x}_2=-cx_1+dx_2+u\]
\[y=x_1\]
写成矩阵-向量形式如下:
\[
\begin{bmatrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-a & b\\-c & -d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}u
\]
\[
y=\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}
\]
若
\[
\mathrm{rank}[\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{Ab}]=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}1 & -a+b\\1 & -c-d\end{bmatrix}=2
\]
则系统可控的条件为
\[a-b-c-d\neq0\]
若
\[
\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{c}\\\boldsymbol{cA}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}1 & 0\\-a & b\end{bmatrix}=2
\]
则系统可观测的条件为 \(b\neq0\)。
(2) 判断表达式所示系统。
因系统矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 为约当标准型,由约当型判据知:若 \(a\neq0,b\neq0,a\neq b\),则系统可控;\(c,d\) 任意取值,系统均不可观测。
9-71 已知系统动态方程
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}0 & 1\\4 & -3\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}u
\]
\[
y=\begin{bmatrix}-1 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}
\]
要求:(1) 判断系统是否渐近稳定?(2) 若初始条件 \(\boldsymbol{x}(0)=\begin{bmatrix}1 & -1\end{bmatrix}^{\mathrm{T}},u(t)=1(t)\),求状