\[\omega_n = 5, \qquad \zeta = 0.025\]
由于\(0<\zeta<1\),故粗读系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标为
超调量 \(\quad \sigma\% = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\% = 92.44\%\)
峰值时间 \(\quad t_p = \dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} = 0.63\text{s}\)
调节时间 \(\quad t_s = \dfrac{4.4}{\zeta\omega_n} = 35.2\text{s} \quad (\Delta=2\%)\)
精读系统的开环传递函数为
\[G_p(s) = \frac{2.5}{s^2+0.25s} = \frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
即精读系统的自然频率和阻尼比分别为
\[\omega_n = 1.58, \qquad \zeta = 0.079\]
由于\(0<\zeta<1\),故精读系统为欠阻尼二阶系统,其动态性能指标为
超调量 \(\quad \sigma\% = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\% = 77.95\%\)
峰值时间 \(\quad t_p = \dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} = 2.0\text{s}\)
调节时间 \(\quad t_s = \dfrac{4.4}{\zeta\omega_n} = 35.3\text{s} \quad (\Delta=2\%)\)
(2) 系统的稳态误差。
当\(r(t)=t\)时,即\(R(s)=\dfrac{1}{s^2}\),粗读系统的误差函数为
\[E_r(s) = \left(1 - \frac{G_r(s)}{1+G_r(s)}\right) \cdot R(s)\]
用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{ssr}(\infty) = \lim_{s\to 0} sE_r(s) = \lim_{s\to 0} s \cdot \left(1 - \frac{G_r(s)}{1+G_r(s)}\right) \cdot R(s)\]
\[= \lim_{s\to 0} s \cdot \frac{s^2+0.25s}{s^2+0.25s+25} \cdot \frac{1}{s^2} = 0.01\]
精读系统的稳态误差函数为
\[E_p(s) = \left(1 - \frac{G_p(s)}{1+G_p(s)}\right) \cdot R(s)\]
用终值定理来求解系统的稳态误差,有
\[e_{ssp}(\infty) = \lim_{s\to 0} sE_p(s) = \lim_{s\to 0} s \cdot \left(1 - \frac{G_p(s)}{1+G_p(s)}\right) \cdot R(s)\]
\[= \lim_{s\to 0} s \cdot \frac{s^2+0.25s}{s^2+0.25s+2.5} \cdot \frac{1}{s^2} = 0.1\]
(3) 仿真结果如图3-45及图3-46所示。
MATLAB程序:exe346.m
numg=[25]; deng=[1 0.25 0]; numh=[1]; denh=[1];
[num1,den1]=feedback(numg,deng,numh,denh); figure, step(num1,den1);
numg=[2.5]; deng=[1 0.25 0]; numh=[1]; denh=[1];
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