图 7-40 闭环采样系统结构图
\[C^*(s) = NG_2^*(s) + B_2^*(s)G_hG_1G_2^*(s)\]
z变换后整理可得
\[C(z) = NG_2(z) + B_2(z)G_hG_1G_2(z)\]
\[= NG_2(z) + [R(z)D_2(z) + E(z)D_1(z)]G_hG_1G_2(z)\]
将 \(E(z)=R(z)-C(z)\) 代入上式，整理后可得
\[C(z) = \frac{NG_2(z) + [D_1(z)+D_2(z)]G_hG_1G_2(z)R(z)}{1+D_1(z)G_hG_1G_2(z)}\]
(2) 减少扰动影响。若要求系统输出能充分反映参考输入，并尽可能少受扰动的影响，由 \(C(z)\) 的表达式可见，应适当增加 \(D_2(z)\) 的增益。
(3) z变换。求 \(\mathscr{Z}\left[\dfrac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s}\cdot G_1(s)G_2(s)\right]\)，其中 \(G_1(s)=\dfrac{\mathrm{e}^{-0.2s}}{s+1}\)，\(G_2(s)=\dfrac{1}{s}\)，采样周期 \(T=1\)。
\[\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s}\cdot G_1(s)G_2(s)\right] = (1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{\mathrm{e}^{-0.2sT}}{s^2(s+1)}\right]\]
由定义 \(z=\mathrm{e}^{sT}\)，可得
\[\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s}\cdot G_1(s)G_2(s)\right] = (1-z^{-1})\cdot z^{-0.2}\cdot \mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]\]
查z变换表，可得
\[\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right] = \frac{z}{(z-1)^2} - \frac{(1-\mathrm{e}^{-1})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}\]
经整理，得
\[\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s}\cdot G_1(s)G_2(s)\right] = \frac{z^{-0.2}(\mathrm{e}^{-1}z+1-2\mathrm{e}^{-1})}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})} = \frac{(0.3679z+0.2642)z^{-0.2}}{(z-1)(z-0.3679)}\]
7-32 一采样系统的结构图如图7-41所示，要求：(1) 若采样周期 \(T=1\)，试求系统临界放大系数 \(K_c\)；(2) 若采样周期 \(T=1\)，输入作用 \(r(t)=t\)，试证明系统稳态误差值为 \(\dfrac{1}{K}\)。
图 7-41 闭环采样系统结构图
解 (1) 求临界增益 \(K_c\)。开环脉冲传递函数为
\[G_hG_0(z) = \mathscr{Z}\left[\frac{(1-\mathrm{e}^{-sT})K}{s^2(s+1)}\right] = K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]\]
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