③ 根轨迹与虚轴的交点:系统的闭环特征方程式为
\[D(s) = s^2(s+2)(s+3) + K^*(s+1)\]
\[= s^4 + 5s^3 + 6s^2 + K^*s + K^* = 0\]
令 \(s = \mathrm{j}\omega\),并将其代入上式可得
\[(\mathrm{j}\omega)^4 + 5(\mathrm{j}\omega)^3 + 6(\mathrm{j}\omega)^2 + K^*(\mathrm{j}\omega) + K^* = 0\]
即
\[\begin{cases} \omega^4 - 6\omega^2 + K^* = 0 \\ -5\omega^3 + K^*\omega = 0 \end{cases}\]
因 \(\omega \neq 0\),故可解得
\[\omega = \pm 1, \quad K^* = 5\]
根据以上分析,画出系统的闭环根轨迹如图4-87所示。
图4-87 图4-84(b)控制系统概略根轨迹图
由根轨迹可得,当 \(K^* < 5\) 即 \(K_1K_2 < 5\) 时,图4-84(b)控制系统稳定。
仿真曲线如图4-88~图4-90所示。
MATLAB程序:exe427.m
G11=zpk([−2],[0 −1 −3],1);G12=zpk([−4],[0 −1 −3],1);
G2=zpk([−1],[0 0 −2 −3],1);
figure, rlocus(G11); figure, rlocus(G12); figure, rlocus(G2);
figure, rlocus(G2); axis([−0.3 0.3 −1.5 1.5])
图4-88 \(K_1=K_2\) 时图4-84(a)系统根轨迹图(MATLAB)
图4-89 \(K_1=3K_2\) 时图4-84(a)系统根轨迹图(MATLAB)
4-28 设系统开环传递函数为 \(G(s) = \dfrac{100}{s(s+10+100b)}\),试绘出参数 \(b\) 从零变化到无穷时的根轨迹图。
解 系统的闭环特征多项式为
\[D(s) = s(s+10+100b) + 100 = s^2 + 10s + 100 + 100bs = 0\]
上式可等价表示为
\[1 + G_1(s) = 0\]