图 5-95 \(G(s)=\dfrac{5\mathrm{e}^{-0.11s}}{s(0.5s+1)}\)对数幅频特性(MATLAB)
G=tf(5,conv([1,0],[0.5,1])),'inputdelay',0.11);
bode(G,w);grid;
5-50 控制系统结构图如图 5-96 所示，试分别计算 \(G_1(s)\) 为如下情况时，系统时域指标 \(\sigma\%\) 和 \(t_s\)。
图 5-96 控制系统结构图
(1) \(G_1(s)=1\)； (2) \(G_1(s)=\dfrac{10(s+1)}{8s+1}\)。
解 (1) 系统(1)的闭环传递函数为
\[\Phi(s)=\frac{96}{s^2+20s+96}\]
则 \(\omega_n=9.8\)， \(\zeta=1.02>1\)
即该系统为过阻尼二阶系统，故 \(\sigma\%=0\%\)。
系统在单位阶跃作用下的输出为
\[C(s)=\Phi(s)\cdot R(s)=\frac{96}{s(s^2+20s+96)}=\frac{1}{s}+\frac{2}{s+12}-\frac{3}{s+8}\]
则系统的单位阶跃时间响应为
\[c(t)=1+2\mathrm{e}^{-12t}-3\mathrm{e}^{-8t}\]
由调节时间的定义可知：
\[1+2\mathrm{e}^{-12t_s}-3\mathrm{e}^{-8t_s}=0.98(\Delta=2\%)，\quad 解得\ t_s=0.62\mathrm{s}\]
\[1+2\mathrm{e}^{-12t_s}-3\mathrm{e}^{-8t_s}=0.95(\Delta=5\%)，\quad 解得\ t_s=0.50\mathrm{s}\]
系统单位阶跃响应曲线如图 5-97 所示。
(2) 系统(2)的开环传递函数为
\[G(s)=\frac{48(s+1)}{s(0.05s+1)(8s+1)}\]
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