显然系统是Ⅰ型系统,且 \(K_v=K/(2+Ka)\),单位斜坡函数输入时系统的稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=1/K_v=2/K+a\]
代入 \(\zeta=0.7,e_{ss}(\infty)=0.25\),有
\[
\begin{cases}
\omega_n^2=K \\
1.4\cdot\omega_n=2+Ka \\
2/K+a=0.25
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\omega_n=5.6 \\
K=31.36 \\
a=0.186
\end{cases}
\]
故在保证 \(\zeta=0.7\) 和 \(e_{ss}(\infty)=0.25\) 条件下,参数 \(a=0.186\),前向通道增益 \(K=31.36\)。
仿真结果如图3-14、图3-15所示。
MATLAB程序:exe322.m (\(K=31.36,a=0.186\))
k=31.36; a=0.186; numg=[k]; deng=[1 2+k*a 0]; numh=[1]; denh=[1];
[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh); figure, step(num,den,3.5); grid on
t=0:0.025:2.5; u=t; figure, lsim(num,den,u,t); grid on
根据系统的单位阶跃响应可得系统的动态性能指标:\(\sigma\%=4.61\%\), \(t_p=0.77\text{s}\), \(t_s=1.07\text{s}(\Delta=2\%)\);
根据系统的单位斜坡响应可得系统的稳态性能指标:\(e_{ss}(\infty)=0.25\)。
图3-14 控制系统的单位阶跃响应(MATLAB)
图3-15 控制系统的单位斜坡响应(MATLAB)
3-23 设复合控制系统如图3-16所示,图中 \(r(t)=1+t,n(t)=0.1\sin100t\)。试求系统在 \(r(t)\) 和 \(n(t)\) 同时作用下的稳态误差。
图3-16 复合控制系统结构图
解 在图3-16中,令 \(n(t)=0\),通过结构图等效变换,可得闭环传递函数为