图 4-111 \(K^*\) 从 \(0\to+\infty\) 时系统常规根轨迹图(MATLAB)
图 4-112 \(K^*\) 从 \(-\infty\to0\) 时系统零度根轨迹图(MATLAB)
4-33 设系统开环传递函数
\[G(s)=\dfrac{\dfrac{1}{a}s-1}{s^3+s^2+\dfrac{s}{(1+a)^2}-1}\]
试绘制 \(a\) 从 \(0\to+\infty\) 时系统的概略根轨迹。
解 根据系统的开环传递函数可得系统的闭环特征方程为
\[D(s)=s^3+s^2+\left[\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{a}\right]s-2=0\]
等效开环传递函数为
\[G_1(s)=\dfrac{K^*s}{s^3+s^2-2}=\dfrac{K^*s}{(s-1)(s+1-j)(s+1+j)}\]
其中，\(K^*=\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{a}\)。
当 \(a\) 从 \(0\to+\infty\) 时，\(K^*\) 从 \(+\infty\to0\)。
因此欲要概略绘制 \(a\) 从 \(0\to+\infty\) 时系统的根轨迹图，即概略绘制 \(K^*\) 从 \(+\infty\to0\) 时等效系统的根轨迹图。
先考虑 \(K^*\) 从 \(0\to+\infty\) 时等效系统的概略根轨迹，然后通过反向，可得 \(K^*\) 从 \(+\infty\to0\) 时等效系统的根轨迹图，即可得 \(a\) 从 \(0\to+\infty\) 时系统的根轨迹图。
① 根轨迹的分支和起点与终点：由于 \(n=3,m=1,n-m=2\)，故根轨迹有三条分支，其起点分别为 \(p_1=1,p_2=-1+j,p_3=-1-j\)，其终点分别为 \(z_1=0\) 和无穷远处。
② 实轴上的根轨迹分布区：\([1,0]\)。
③ 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-2+1}{2}=-0.5\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{2}\)。
④ 根轨迹的起始角：
\[\theta_{p_1}=180°+\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}-\theta_{p_3p_1}=180°\]
\[\theta_{p_2}=180°+\varphi_{z_1p_2}-\theta_{p_1p_2}-\theta_{p_3p_2}\]
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