\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 & -1\\0 & -2 & 0 & -2\\1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & -0.5\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}1\\2\\0\\0\end{bmatrix}u
\]
\[
y=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}
\]
（3）系统图9-3(c)。将频域参量\(s\)视作微分算子，设全部初始条件为零，由图9-3(c)可得
\[
\begin{cases}
sX_3=X_2\\
Y_1=X_1+X_2\\
Y_2=X_3+U_1-Y_1\\
(s+2)X_2=U_2-Y_2\\
(s+1)X_1=U_1-Y_1
\end{cases}
\]
经整理可得其动态方程式为
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1=-2x_1-x_2+u_1\\
\dot{x}_2=x_1-x_2-x_3-u_1+u_2\\
\dot{x}_3=x_2\\
y_1=x_1+x_2\\
y_2=-x_1-x_2+x_3+u_1
\end{cases}
\]
其向量矩阵形式为
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 0\\1 & -1 & -1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}1 & 0\\-1 & 1\\0 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{u}
\]
\[
\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\-1 & -1 & 1\end{bmatrix}\boldsymbol{x}+\begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{u}
\]
9-4 设系统的传递函数\(G(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}=\dfrac{2s+8}{2s^3+12s^2+22s+12}\)，试求：（1）系统的可控标准型实现；（2）系统的可观测标准型实现。要求画出各种实现的系统状态变量图。
解 （1）由于
\[
G(s)=\frac{2s+8}{2s^3+12s^2+22s+12}
\]
写成可控标准型实现为
\[
\dot{\boldsymbol{x}}_c=\boldsymbol{A}_c\boldsymbol{x}_c+\boldsymbol{b}_c u=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\-6 & -11 & -6\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u,\quad y=\boldsymbol{c}\boldsymbol{x}_c=\begin{bmatrix}4 & 1 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}_c
\]
（2）系统的可观测标准型实现为可控标准型实现的对偶形式，即
\[
\boldsymbol{A}_o=\boldsymbol{A}_c^{\mathrm{T}},\quad \boldsymbol{b}_o=\boldsymbol{c}_c^{\mathrm{T}},\quad \boldsymbol{c}_o=\boldsymbol{b}_c^{\mathrm{T}}
\]
则系统的可观测型实现为
· 476 ·