题海 · 题解 · p.514
若系统可控可观测,则必须要求 \(\mathrm{rank}\boldsymbol{V}=3=n,\mathrm{rank}\boldsymbol{S}=3=n\),即 \(\det\boldsymbol{V}\neq0,\det\boldsymbol{S}\neq0\)。显然,由于 \(\det\boldsymbol{V}=-4\neq0\) 成立,则该系统必然可观测,故只需要求 \(1-4\beta_1+10\beta_2-18\beta_1\beta_2+25\beta_2^2+6\beta_1\beta_2-8\beta_1^2\beta_2+4\beta_2^3+2\beta_1^3+3\beta_1^3\neq0\) 即可。
9-29 线性定常离散系统的动态方程为
\[\boldsymbol{x}(k+1)=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\-1 & -2 & 0\\0 & 1 & 2\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)+\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}u(k),\quad \boldsymbol{y}(k)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(k)\]
试判别系统的可控性和可观测性。
解 设系统可控性矩阵为 \(\boldsymbol{S}\),则
\[\boldsymbol{S}=[\boldsymbol{h}\quad \boldsymbol{Gh}\quad \boldsymbol{G}^2\boldsymbol{h}]=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\1 & 2 & 4\end{bmatrix},\quad \mathrm{rank}\boldsymbol{S}=1<3=n\]
故系统不可控。
设系统的可观测性矩阵为 \(\boldsymbol{V}\),则
\[\boldsymbol{V}=[\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\quad \boldsymbol{G}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\quad (\boldsymbol{G}^{\mathrm{T}})^2\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}]=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 4 & 0\\0 & 1 & 2 & 0 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & 0 & 16 & 0\end{bmatrix},\ \mathrm{rank}\boldsymbol{V}=3=n\]
故系统可观测。
最后利用下列 MATLAB 程序,并调用可控性判断函数 jctr 和输出可观测性判断函数 jobsv 来验证上述计算,所得结果完全一致。
MATLAB 程序:exe929.m
A=[2 0 0;-1 -2 0;0 1 2];b=[0;0;1];C=[1 0 1;0 1 0];
str1=jctr(A,b)
str2=jobsv(A,C)
9-30 设有连续时间系统 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\),其中
\[\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0 & \pi\\-\pi & 0\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},\quad \boldsymbol{c}=[1\quad 2]\]
要求:(1) 判断系统的可控性、可观测性和输出可控性;(2)以采样周期 \(T=1\) 将系统离散化,并判断离散化系统的可控性、可观测性和输出可控性;(3) 以采样周期 \(T=2\) 将系统离散化,并判断离散化系统的可控性、可观测性和输出可控性。
解 (1) 判断系统的可控性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{S}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{b}\quad \boldsymbol{Ab}]=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}0 & \pi\\1 & 0\end{bmatrix}=2=n\]
因此系统可控。
系统的可观测性
\[\mathrm{rank}\boldsymbol{V}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\boldsymbol{c}\\\boldsymbol{cA}\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}1 & 2\\-2\pi & \pi\end{bmatrix}=2=n\]
因此系统可观测。
系统的输出可控性
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