图 2-87

\(\theta_i(t)=10\times1(t)\) 时,系统输出(MATLAB)

图 2-88

\(\theta_i(t)=60\times t\) 时,系统输出(MATLAB)

2-47

设皮带轮传动系统如图 2-89 所示。图中,皮带作恒速运动,皮带上有一重物,重物左端接有一弹簧,弹簧左端固定,重物和皮带之间有摩擦。假定初始状态时皮带不转,一旦皮带启动,瞬间达到恒速。试讨论皮带启动之后,重物的运动规律。

图 2-89 皮带轮传动系统原理图

解

(1) 分析运动规律。

皮带启动后,相对于作恒速运动的皮带,重物 \(M\) 始终向左运动,因此摩擦力 \(f\) 方向向右。然而相对于地面,重物 \(M\) 的运动规律为一振荡过程,每个振荡周期内的运动规律如下:

开始时,摩擦力 \(f\) 大于弹簧对重物的拉力,重物 \(M\) 向右作加速运动,由于弹簧不断被拉长使得弹簧的拉力不断加大,因此这段时间重物 \(M\) 向右作加速度减小的加速运动。当弹簧对重物的拉力等于摩擦力 \(f\) 时,重物 \(M\) 向右的速度达到最大值。

然后,当摩擦力 \(f\) 小于弹簧对重物的拉力时,重物 \(M\) 向右作减速运动,由于弹簧仍然处于不断被拉长的阶段,因此这段时间重物 \(M\) 向右作加速度增加的减速运动。当重物 \(M\) 的速度减为零时,弹簧的拉力达到最大值。

接着,重物 \(M\) 向左作加速运动,由于弹簧不断回缩使得弹簧的拉力不断减小,因此这段时间重物 \(M\) 向左作加速度减小的加速运动。当弹簧对重物的拉力再次等于摩擦力 \(f\) 时,重物 \(M\) 向左的速度达到最大值。

最后,摩擦力 \(f\) 大于弹簧对重物的拉力,重物 \(M\) 向左作减速运动,由于弹簧仍然处于不断回缩的阶段,因此这段时间重物 \(M\) 向左作加速度增加的减速运动。当重物 \(M\) 的速度减为零时,弹簧恢复原状,重物也回到起始点,准备下一个振荡过程。

(2) 建立运动模型。

根据以上分析,则运动模型为

对上式进行拉普拉斯变换,有