7-15 闭环采样系统如图 7-11 所示,采样周期 \(T=0.5\)。要求:(1)判别采样系统的稳定性;(2)计算采样系统的误差系数及其相应的稳态误差;(3)求采样系统的单位阶跃响应,并绘出曲线。
图 7-11 闭环采样系统结构图
解 (1) 系统稳定性。开环脉冲传递函数为
\[
G_hG_o(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{(1-e^{-sT})K}{s^2(s+1)}\right]=K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]=K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}\right]
\]
\[
=K(1-z^{-1})\left[\frac{0.5z}{(z-1)^2}-\frac{z}{z-1}+\frac{z}{z-0.6065}\right]=K\frac{0.1065z+0.0902}{(z-1)(z-0.6065)}
\]
则闭环特征方程为
\[
D(z)=(z-1)(z-0.6065)+K(0.1065z+0.0902)
\]
\[
=z^2+(0.1065K-1.6065)z+(0.6065+0.0902K)=0
\]
令 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\),得 \(w\) 域特征方程为
\[
D(w)=0.1967Kw^2+(0.787-0.1804K)w+(3.213-0.0163K)=0
\]
列出劳斯表如下:
| \(w^2\) | \(0.1967K\) | \(3.213-0.0163K\) |
| \(w^1\) | \(0.787-0.1804K\) | \(0\) |
| \(w^0\) | \(3.213-0.0163K\) |
根据劳斯判据得系统稳定的条件
\[
0.1967K>0,\quad 0.787-0.1804K>0,\quad 3.213-0.0163K>0
\]
则有系统稳定时,\(K\) 值范围为
\[
0<K<4.3625
\]
若令 \(K=1\),则闭环误差脉冲传递函数为
\[
\Phi_e(z)=\frac{1}{1+G_hG_0(z)}=\frac{(z-1)(z-0.6065)}{z^2-1.5z+0.6967}
\]
闭环特征方程为 \(\quad D(z)=z^2-1.5z+0.6967=0\)
求得特征根 \(z_{1,2}=0.7500\pm \mathrm{j}0.3663\)。由于 \(|z_{1,2}|<1\),故闭环系统稳定。
(2) 系统静态误差系数及稳态误差
\[
K_p=\lim_{z\to1}[1+G_hG_0(z)]=\infty
\]
\[
K_v=\lim_{z\to1}[(z-1)G_hG_0(z)]=0.504K
\]
\[
K_a=\lim_{z\to1}[(z-1)^2G_hG_0(z)]=0
\]
根据开环脉冲传递函数的形式,可以判定该系统是Ⅰ型系统,在单位斜坡输入的情况下,稳态误差为
\[
e_{ss}(\infty)=\frac{T}{K_v}=\frac{0.992}{K}
\]
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