第一章 数 学 基 础

1-1 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换法是一种求解线性常微分方程的简便运算方法。拉普拉斯变换可以将许多普通函数,如正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数,转变为复变量 \(s\) 的代数函数,从而将复杂的线性常微分方程求解问题,转化为简单的复变量 \(s\) 的代数方程求解问题。

1. 拉普拉斯变换

设 \(f(t)\) 为时间 \(t\) 的函数,且当 \(t<0\) 时 \(f(t)=0\),则 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换定义为

相应的拉普拉斯反变换则为

式中,收敛横坐标 \(c\) 为实常量,其实部应大于 \(F(s)\) 所有奇点的实部。

1) 拉普拉斯变换的存在性

如果拉普拉斯积分收敛,则函数 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换存在。若存在一个正实常数 \(\sigma\),使得函数 \(\mathrm{e}^{-\sigma t}\,|f(t)|\) 在 \(t\) 趋于无穷大时趋于零,则称函数 \(f(t)\) 为指数级的。

如果 \(f(t)\) 在 \(t>0\) 范围内的每一个有限区间上分段连续,且当 \(t\) 趋于无穷大时函数 \(f(t)\) 为指数级的,则 \(f(t)\) 的拉普拉斯积分是收敛的。

如果 \(\sigma>\sigma_c\),函数 \(\mathrm{e}^{-\sigma t}\,|f(t)|\) 满足 \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\mathrm{e}^{-\sigma t}\,|f(t)|\to 0\),且有

则 \(\sigma_c\) 的值称为收敛横坐标。

对于函数 \(f(t)=A\mathrm{e}^{-\alpha t}\),若

则收敛横坐标 \(\sigma_c=\alpha\)。只有当 \(s\) 的实部 \(\sigma\) 大于收敛横坐标 \(\sigma_c\) 时,积分 \(\displaystyle\int_0^{\infty} f(t)\mathrm{e}^{-st}\mathrm{d}t\) 才是收敛的。因此,必须将算子 \(s\) 选定为一个能使上述积分收敛的常数。

从函数 \(F(s)\) 的极点来看,收敛横坐标 \(\sigma_c\) 相当于 \(s\) 平面内 \(F(s)\) 最右边的极点的实部。例如

则 \(\sigma_c=-1\)。可以看出,对于 \(t\),\(\sin\omega t\) 和 \(t\sin\omega t\) 这样一些函数,其收敛横坐标为零;对于 \(\mathrm{e}^{-\alpha t}\),\(t\mathrm{e}^{-\alpha t}\) 和 \(\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin\omega t\) 这样一些函数,其收敛横坐标为 \(-\sigma\)。但是,对于那些比指数函数增加得更快的函数,不可能找到合适的收敛横坐标值。因此,像 \(\mathrm{e}^{t^2}\) 和 \(t\mathrm{e}^{t^2}\) 这类函数,不能进