\((\bar{A}_1,\bar{B}_1,\bar{C}_1)\) 为 \(\bar{A}_1=\begin{bmatrix}A+BK & BK \\ 0 & A-GC\end{bmatrix}\)，\(\bar{B}_1=\begin{bmatrix}B\\0\end{bmatrix}\)，\(\bar{C}_1=\begin{bmatrix}C & 0\end{bmatrix}\)。由于线性变换不改变系统的极点，因此有 \(\det\left[sI-\bar{A}_1\right]=\det\left[sI-(A+BK)\right]*\det\left[sI-(A-GC)\right]\)。表明由观测器构成状态反馈的闭环系统，其特征多项式等于矩阵 \(A+BK\) 与矩阵 \(A-GC\) 的乘积，则系统的状态反馈矩阵 \(K\) 和观测器反馈矩阵 \(G\) 可分别进行设计。
27、最小实现的条件是什么？
解析：若某一状态空间表达式计算得到了对应的传递函数矩阵，并且该状态空间为此矩阵维数最低且能控能观的一种实现方式，则称该状态空间为此传递函数矩阵的一个最小实现。
对于 \(\begin{cases}\dot{x}=Ax+Bu\\y=cx\end{cases}\) 最小实现条件是：能控能观且维数最低。
28、状态转移矩阵 \(\phi=e^{At}\)，判断 \(e^{At}\cdot e^{Bt}=e^{(A+B)t}\) 是否恒成立？
解析：对于 \(n\times n\) 方阵 \(A\) 和 \(B\)，当且仅当 \(AB=BA\) 时 \(e^{At}\cdot e^{Bt}=e^{(A+B)t}\)
而当 \(AB\neq BA\) 时，则 \(e^{At}\cdot e^{Bt}\neq e^{(A+B)t}\)
29、简述对偶原理以及其和原系统可控可测的关系。
解析：若系统 1 为 \(\dot{x}_1=A_1x_1+B_1u_1,y_1=c_1x_1\) 统 2 为 \(\dot{x}_2=A_2x_2+B_2u_2,y=c_2x_2\) 若满足 \(A_2=A_1^T\)，\(B_2=C_1^T,C_2=B_1^T\) 则称系统1和系统2为对偶系统。两个对偶系统的传递函数互为转置，能控性和能观性对偶等价。
30、状态空间 \(\begin{cases}\dot{x}=Ax+Bu\\y=Cx\end{cases}\)，试求在初态 \(x_0\) 的条件下，单位脉冲输入状态响应 \(x(t)\)
解析：系统的单位脉冲响应为 \(x(t)=e^{At}x_0+e^{At}B\)，其中 \(e^{At}\) 为系统的状态转移矩阵，由于是单位脉冲，\(K=E\)。