\[
\ddot{x}_1 - \dot{x}_1 = 2x_1 + \dot{x}_1 - x_1
\]
即
\[
\ddot{x}_1 - 2\dot{x}_1 - x_1 = 0
\]
同理可得
\[
\ddot{x}_2 - 2\dot{x}_2 - x_2 = 0
\]
令 \(\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x} = \dfrac{2\dot{x}+x}{\dot{x}} = \dfrac{0}{0}\) ,得奇点为\((0,0)\)。系统特征方程为
\[
s^2 - 2s - 1 = 0
\]
相应的特征根为
\[
s_1 = 2.414, \quad s_2 = -0.414 \quad (\text{鞍点})
\]
由于 \(\ddot{x} = \dot{x}\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x} = 2\dot{x} + x\) ,令 \(\dfrac{\mathrm{d}\dot{x}}{\mathrm{d}x} = \alpha\) ,得等倾线方程为
\[
\dot{x} = \frac{x}{\alpha - 2} = kx
\]
其中 \(k = 1/(\alpha - 2)\) 为等倾线的斜率。由于相轨迹的渐近线是特殊的等倾线,满足 \(k=\alpha\) ,则由上式不难得到 \(k_1=\alpha_1=2.414, k_2=\alpha_2=-0.414\)。相轨迹在这两条特殊的等倾线附近将沿着渐近线收敛或发散。
表8-3给出了不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率。
表8-3 不同 \(\alpha\) 值下等倾线的斜率
| \(\alpha\) | 2 | 2.5 | 3 | \(\infty\) | 1 | 1.5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{\alpha-2}\) | \(\infty\) | 2 | 1 | 0 | \(-1\) | \(-2\) |
利用下列MATLAB程序或根据表格可作出系统的相轨迹,如图8-11所示。
MATLAB程序:exe803d.m
t=0:0.01:10;
x01=[-15 5]';[t,x1]
=ode45('sys803d',t,x01);
x02=[-13 5.5]';[t,x2]
=ode45('sys803d',t,x02);
x03=[-12 5]';[t,x3]
=ode45('sys803d',t,x03);
x04=[-12 4.9]';[t,x4]
=ode45('sys803d',t,x04);
x05=[12 -5]';[t,x5]
=ode45('sys803d',t,x05);
x06=[-5 2]';[t,x6]=ode45('sys803d',t,x06);
x07=[10 -4]';[t,x7]=ode45('sys803d',t,x07);
x08=[10 -4.1]';[t,x8]=ode45('sys803d',t,x08);
x09=[-7 3]';[t,x9]=ode45('sys803d',t,x09);
x010=[14 -6]';[t,x10]=ode45('sys803d',t,x010);
x011=[15 -6.5]';[t,x11]=ode45('sys803d',t,x011);
图8-11 系统(4)的相轨迹(MATLAB)
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