考研851 自动控制原理
题海 · pdf-page · p.537
\[ \text{rank}\boldsymbol{P}_{cm} = \text{rank}[\boldsymbol{B} \;\vdots\; \boldsymbol{AB} \;\vdots\; \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{B} \;\vdots\; \cdots \;\vdots\; \boldsymbol{A}^{r-m}\boldsymbol{B}] = n \]

必要性得证。

充分性：若矩阵 \(\boldsymbol{P}_{cm}\) 满秩，则系统可控。

若

\[ \text{rank}\boldsymbol{P}_{cm} = \text{rank}[\boldsymbol{B} \;\vdots\; \boldsymbol{AB} \;\vdots\; \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{B} \;\vdots\; \cdots \;\vdots\; \boldsymbol{A}^{r-m}\boldsymbol{B}] = n \]

则

\[ \text{rank}\boldsymbol{S} = \text{rank}[\boldsymbol{B} \;\vdots\; \boldsymbol{AB} \;\vdots\; \cdots \;\vdots\; \boldsymbol{A}^{r-m}\boldsymbol{B} \;\vdots\; \cdots \;\vdots\; \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}] = n \]

必然成立。因此系统可控，充分性得证。

9-53

试证明：系统 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})\) 可控的充分必要条件是：若 \(\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{XA}\)，\(\boldsymbol{XB}=0\)，则必有 \(\boldsymbol{X}=0\)。

证明 先证充分性。系统的可控性矩阵为

\[ \boldsymbol{S} = [\boldsymbol{B} \quad \boldsymbol{AB} \quad \cdots \quad \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}] \]

由于 \(\boldsymbol{XB}=0\)，\(\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{XA}\)，因此有 \(\boldsymbol{XAB}=\boldsymbol{AXB}=0\)，递推可得 \(\boldsymbol{XS}=0\)。因为系统可控，所以可控性矩阵 \(\boldsymbol{S}\) 满秩，因此可得 \(\boldsymbol{X}=0\)。

再证必要性，即证明系统 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})\) 不可控意味着存在一非零矩阵 \(\boldsymbol{X}\)，使得 \(\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{XA}\)，\(\boldsymbol{XB}=0\)。假定 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})\) 具有不可控部分，将系统化为可控标准型有

\[ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}_c & \boldsymbol{A}_{12} \\ 0 & \boldsymbol{A}_{\bar{c}} \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{B}_c \\ 0 \end{bmatrix} \]

并通过相似变换再将 \(\boldsymbol{A}_{\bar{c}}\) 化为约当规范型 \(\boldsymbol{J}\)，有

\[ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}_c & \bar{\boldsymbol{A}}_{12} \\ 0 & \boldsymbol{J} \end{bmatrix} \]

取 \(\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} 0 & \boldsymbol{P} \\ 0 & -\boldsymbol{I} \end{bmatrix}\) 为非零向量，则显然有 \(\boldsymbol{XB}=0\)。同时还可以看出，\(\boldsymbol{AX}=\boldsymbol{XA}\) 成立的充要条件为 \(\boldsymbol{A}_c\boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{J}=\bar{\boldsymbol{A}}_{12}\) 有解。由于 \(\boldsymbol{A}_c\) 和 \(\boldsymbol{J}\) 分别对应于系统的可控和不可控振型，因此由矩阵性质可知，线性方程 \(\boldsymbol{A}_c\boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{J}=\bar{\boldsymbol{A}}_{12}\) 总有一个解 \(\boldsymbol{P}\) 存在。

9-54

试证明：系统 \(\left(\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & 0 \\ \boldsymbol{C} & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \boldsymbol{B} \\ 0 \end{bmatrix}\right)\) 可控的充分必要条件是 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})\) 可控且 \(\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & 0 \end{bmatrix}\) 满秩。

证明 由于可控性矩阵

\[ \boldsymbol{S} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{AB} & \cdots & \boldsymbol{A}^n\boldsymbol{B} \\ 0 & \boldsymbol{CB} & \cdots & \boldsymbol{CA}^{n-1}\boldsymbol{B} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \boldsymbol{S}_1 \\ \boldsymbol{I} & 0 \end{bmatrix} \]

其中 \(\boldsymbol{S}_1 = [\boldsymbol{B} \quad \boldsymbol{AB} \quad \cdots \quad \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}]\)，若 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})\) 可控且 \(\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & 0 \end{bmatrix}\) 满秩，则 \(\boldsymbol{S}_1 = [\boldsymbol{B} \quad \boldsymbol{AB} \quad \cdots \quad \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{B}]\) 满秩。由此可得 \(\boldsymbol{S}\) 满秩，因此系统 \(\left(\begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & 0 \\ \boldsymbol{C} & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \boldsymbol{B} \\ 0 \end{bmatrix}\right)\) 可控，充分性得证。反向考虑，同理可得必要性成立。

9-55

对于 \(n\) 阶单输入-单输出系统 \((\boldsymbol{A},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\)，已知

\[ \boldsymbol{c}\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{b} = \alpha \neq 0, \quad \boldsymbol{c}\boldsymbol{A}^k\boldsymbol{b} = 0, \quad k=0,1,2,\cdots,n-2 \]

试证明：该系统既可控又可观测。