第四章 根轨迹
The Root Locus
电控学院
自动化系
===== 幻灯片 2 =====
本章主要介绍线性系统的根轨迹分析法。根
轨迹的基本概念，根轨迹与性能指标之间的关系。
常规根轨迹、参数根轨迹、正反馈系统根轨迹的
绘制以及用根轨迹进行系统分析的方法。
本章是分析一组系统.根据根轨迹和参数变化
分析、校正系统，对系统的动特性进行选择 。
===== 幻灯片 3 =====
4.1 根轨迹和根轨迹方程
The Root Locus and Root Locus Equation
4.2 根轨迹绘制的基本法则
The Root Locus Procedure
4.3 其它形式的根轨迹
The Other Root Locus
4.4 根轨迹分析
Analysis of Root Locus
===== 幻灯片 4 =====
（1）根轨迹方程
（2）根轨迹绘制
（3）根据根轨迹定性分析系统指标随参数变化
的趋势
难点
（1）分离点的求法
（2）00和1800 根轨迹的区分
===== 幻灯片 5 =====
一．基本概念
在已知开环模型的基础上，随着开环某个参数的变化
（0-〉∞），闭环特征根运动的轨迹，叫根轨迹。
为什么根轨迹可以分析系统的稳定性、准确性和快速性？
举例： j
R(S) C(S)
K -
a
S(S+1) 2
- 0
-a
k->∞
4.1 根轨迹和根轨迹方程
===== 幻灯片 6 =====
m
k * (s zi ) 零极点形式
i1
G(s)H(s) n k* 开环根增益
(s p )
j1
j
Zi 为系统的开环零点 Pj 为系统的开环极点
m
(τ s 1)
i1
i 典型环节形式
k n
k 放大增益、放大倍数
(T j s 1)
j 1
4.1 根轨迹和根轨迹方程
===== 幻灯片 7 =====
1
τi 一阶微分环节的时间常数
zi
1
Tj 惯性环节的时间常数
pj
n
m
(-zi ) *
(-p )
j1
j
kk * i1
n
k k m
(-p )
j1
j (-z )
i1
i
4.1 根轨迹和根轨迹方程
===== 幻灯片 8 =====
G(s) R(s) E(s) C(s)
闭环传函： (s) G(s)
1 G(s)H(s)
B(s) -
H(s)
开环传函： G(s)H(s)
闭环特征方程： 1+G(s)H(s)=0
变换 1 G ( s ) H ( s ) 0 G ( s ) H ( s ) 1
满足上式的点都必然是根轨迹上的点，故把
上式叫做根轨迹方程。
4.1 根轨迹和根轨迹方程
===== 幻灯片 9 =====
m
*
k (s z i )
i 1 k *(s z 1 )(s z 2 ).....(s zm )
n
1
(s p 1 )(s p 2 ).......(s pn)
(s p )
j 1
j
m
k * s - zi
i1
1
模值方程
n
s-p
j1
j
m n
(s zi ) (s pj ) (2k 1)π 相角方程
i1 j1
4.1 根轨迹和根轨迹方程
===== 幻灯片 10 =====
零变化到无穷大。故复平面上所有满足相角条件的
点都是特征方程的根，这些点所构成的线即根轨迹
曲线。
各个点所对应的增益可由模值方程得到。
即：相角条件是决定系统根轨迹的充分必要条件
4.1 根轨迹和根轨迹方程
===== 幻灯片 11 =====
本法则的条件是 (2k 1)π180 2kπ 的相角
条件，称1800根轨迹
法则1：起点、终点
根轨迹起于开环极点，终止于开环零点。
设系统有n个开环极点，m个开环零点。若n>m，
则有n-m条根轨迹趋向于无穷远处。若m>n，则
有m-n条根轨迹来自无穷远处。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 12 =====
K(τs 1)
已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s) s(Ts 1)
τ T
试绘制参数K由0至无穷变化时系统的根轨迹。
根轨迹图
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 13 =====
法则 2：根轨迹的分支数和对称性
分支数与开环有限零点数m及有限极点数n中的大
者相等。分支数=max{m,n}
对称性：根轨迹是连续的且对称于实轴。
特征根或为实根或为共轭复根，故必对称于实轴。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 14 =====
法则3：实轴上的根轨迹
实轴上某段存在根轨迹的条件是：
其右端实轴上的开环零、极点数目之和为奇数。
可由相角方程证明。
证明
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 15 =====
法则4：根轨迹的渐近线
当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角
为 k ,交点 a 为的一组渐近线趋向无穷远处。
且有
( 2 k 1)
k n m
k=0,1,…n-m-1
n m
p j zi
j 1 i 1
a n m
渐近线与实轴的交点及夹角
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 16 =====
（1） σa 是渐近线与实轴交点，必在实轴上，
只与n、m、pj、zi有关；
（2） θk 只与n－m 的值有关；
（3）渐近线条数为n－m，这些渐近线将s平面以
为 σa 中心进行等分，即各渐近线之间的夹角为
3600/(n-m)
（4）n>m时，极点沿渐近线趋向于无穷远；m>n
时，极点从无穷远处沿渐近线而来；n=m时没有
渐近线，在某些情况下可能正好为正、负实轴
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 17 =====
k
已知单位反馈系统 G(s)
s(s Pj )
概略绘根轨迹
(2k 1) 3
a , k 0,1
2 2 2
0 pj pj pj
a
2 2 2
pj 0
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 18 =====
k*
已知单位反馈系统 G(s)
s(s 1)(s 2)
概略绘根轨迹
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 19 =====
法则5：分离点与汇合点
分离点求解 ：
m
1 n
1
（1）
i1 d zi
j1 d p j
d 分离点坐标
dK *
（2） 0
ds
注意：在求出分离点后，要验证其是否为根轨迹上
的点，如果不是，应将其舍去。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 20 =====
（1）根轨迹是对称的，故根轨迹的分离点或位于
实轴上，或以共轭的形式出现在复平面上(注意
具有复数分离点的系统阶次至少为4阶)；
（2）若一个零点和一个极点间有根轨迹，则零极
点间必无分离点。
（3）若两个极点间有根轨迹，则此两极点间必有
分离点；若两个零点间有根轨迹，则此两零点
间必有汇合点。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 21 =====
K *(s 3)
已知单位反馈系统的开环传函 G(s)
(s 1)(s 5)(s 10)
试绘制以K*为变参数的根轨迹。
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 22 =====
法则6：起始角与终止角
起始角(出射角)：
根轨迹离开复数极点处的切线与正实轴方向
的夹角，称为起始角，用 p 表示。 i
m n
θp (2k 1)π [ (pi - zj ) (pi - pj )]
i
j1 j1
ji
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 23 =====
终止角（入射角）：
根轨迹进入复数零点处的切线与实轴正方
向的夹角，称为终止角，用 zi 表示。
m n
θz (2k 1)π[ (zi - zj ) (zi - p j )]
i
j1 j1
ji
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 24 =====
K *(s 1.5)(s2 4s 5)
已知单位反馈系统的开环传函G(s) s(s 2.5)(s2 s 2.5)
试绘制系统以K * 为变参数的根轨迹图。
2
o
o 79
19 1
o o
o 108
37 56
-2.5 -1.5 0
o
59 o
90 -1
-2
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 25 =====
法则7：根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点，有两种方法求取：
方法一：
采用劳斯判据，当系统特征方程有纯虚根时，
劳斯表中某一行的元素全部为零，纯虚根可由
该行的上一行元素构成的辅助方程求出。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 26 =====
方法二：
令 s jω 代 入 特 征 方 程 D(s)= 0 中，
有 D(jω) 0 ，令实部和虚部分别等于零，
可以求出与虚轴的交点及临界稳定的开环根增
益K*。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 27 =====
法则8：根之和
设系统的闭环特征方程的根为 s1 , s2 , s3 , s4 .....sn ，
n n
在 n m 2 时，则有 si pi ，即开环 n
i1 i1
个极点之和等于闭环特征方程 n 个根之和。
在开环极点确定的情况下，闭环极点之和是一个
不变的常数，此法则可以用来判断根轨迹的走向。
即当K* 增大时，若闭环某些极点在s平面上向左
移动，则另一部分极点必然向右移动。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 28 =====
法则9：闭环极点的和与积
n n 1 n2
D ( s ) s a1 s a2 s ..........an 0
( s s1 )( s s2 )( s s3 ).....( s sn )
n n
( si ) a 1
i1
( s ) a
i1
i n
（1）若n-m>=2 ，则根之和与开环根增益无关
（2）根之积乘以 (-1)n 等于闭环特征方程的常数项
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 29 =====
已知系统 K
G(s)H(s)
s(0.05s 1)(0.05s 2 0.2s 1)
试绘制大致根轨迹图。
40
30
20
10
-2+4j
0
-2-4j
-10
-20
-30
-40
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30
4.2 根轨迹绘制的基本法则
===== 幻灯片 30 =====
4.3.1 正反馈系统根轨迹
R(S) E(S) C(S)
G1(S) G(S)
+
H(S)
H(S)
正反馈内回路的闭环传递函数为：
G(s)
(s)
1 G(s)H(s)
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 31 =====
D(s) 1 G(s)H(s) 0 G(s)H(s) 1
该方程等效于下面的根轨迹方程：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s) 0 2kπ, k 0,1,2...., n m 1
因由所有开环极点和零点构成的相角之和等于
0 2kπ,故称正反馈系统的根轨迹称为0°根轨迹
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 32 =====
根据0°根轨迹的根轨迹方程式,只需修改前
述法则中与相角有关的部分。
法则4：实轴上的根轨迹
实轴上存在根轨迹的条件是其右侧开环零、
极点数目之和为偶数 。
法则5：根轨迹的渐近线
2kπ
θk k 0,1,2, n m 1
nm
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 33 =====
法则6：起始角与终止角
m n
θpi (zj pi ) (p j pi )
j1 j1
ji
m n
θzi (zj zi )(p j zi )
j1 j1
j i
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 34 =====
K(s 2)
已知正反馈系统的开环传函 G(s)H(s)
(s 3)(s2 2s 2)
试绘制K从0到变化 时的根轨迹。
Root Locus
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1
-1.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
Real Axis
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 35 =====
最小相位环节：环节所有的零点与极点都位于s
平面的左半平面，这样的环节称为最小相位环节。
非最小相位环节：如果环节存在位于s平面的右
半平面的零点或极点，则称为非最小相位环节。
非最小相位系统 ：
系统中只要有一个非最小相位环节；
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 36 =====
当非最小相位系统s的最高次幂项的系数为负时，
满足0º根轨迹的相角条件，故其根轨迹应按0º根
轨迹法绘制，否则按180º根轨迹法则绘制。
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 37 =====
已知系统的结构图如图所示，其中T=0.5秒，
Ta=1秒，绘制K从0到无穷大变化时的根轨迹。
R(S) K(1-Tas) C(S)
_ s(Ts+1)
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 38 =====
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 39 =====
1. 0º根轨迹是系统实质上处于正反馈状态下的
根轨迹；
2. K*从0 ~ 变化时，根轨迹称为180º根轨迹；
K*从0 ~ 变化时，根轨迹称为0º根轨迹。
3.来源：（1）非最小相位系统中s的最高次幂为
负的因子
（2）控制系统中包含有正反馈的内回路
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 40 =====
根轨迹法则绘制，也不是根据主反馈口的极性来
绘制根轨迹。区别0º和180º根轨迹的关键在于根
轨迹方程，即将根轨迹方程化成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) K
i1
n 1
(s p )
j1
j
若右端为“－1”，则绘制180º根轨迹，
为“＋1”，绘制根0º轨迹；
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 41 =====
以开环根增益K*为可变参数的根轨迹又称常规根
轨迹，系统中其他参数变化时对应的根轨迹称为参数
根轨迹，又称为广义根轨迹。
绘制方法：
引入等效开环传递函数的概念，使得所要研究的变参数
成为另一等效系统的开环增益，从而运用前面所述的根轨迹
绘制法则绘制根轨迹。
要求 （1）可变参数必须是乘积因子
（2）零、极点形式
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 42 =====
（1）写出闭环特征方程
（2）以不包含可变参数的各项之和除根轨迹方程
即将 D(s)1 G(s)H(s) 0 等效变换成 1 A P(s)0
Q(s)
P(s)
A
Q(s)
为等效开环传递函数
A为除K以外的任意变化的参数，P(s)和Q(s)
为与A无关的首项系数为1的多项式
等效开环传递函数的含义在于：
“闭环极点”相同这一点上成立。
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 43 =====
已知系统的结构图如图所示，试绘制以 为变参
数的参数根轨迹。
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 44 =====
5(1 αs) 1 αs
系统的开环传函: G(s)H(s)
s(5s 1) s(s 0.2)
闭环特征方程： D(s) s2 0.2s 1 αs 0
以不含可变参数α的各项之和除根轨迹方程得：
αs
1 2 0
s 0.2s 1
等效开环传递函数为：
s
G( s ) H ( s) 2
s 0.2 s 1
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 45 =====
Root Locus
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Imaginary Axis
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Real Axis
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 46 =====
已知 10(Ts 1)
G(s)H(s)
s(s 2)
绘制以T为可变参数的根轨迹
解： D(s) s2 2s 10 10Ts 0
10Ts
D(s) 1 2
0
s 2s 10
10Ts
等效开环传函 2
s 2s 10
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 47 =====
已知多回路系统如图所示，研究k1和α对系统
性能的影响.
R(S) K1 C(S)
- - s(s+2)
s
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 48 =====
Root Locus
k1=4
k1=3
k1=2
k1=2
k1=3
k1=4
-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
Real Axis
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 49 =====
Root Locus
2
k1=4
1.5
k1=3
1 k1=2
0.5
Imaginary Axis
0
-0.5
-1 k1=2
k1=3
-1.5
k1=4
-2
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
4.3 其它形式的根轨迹
===== 幻灯片 50 =====
根据根轨迹的分布来研究系统的性能
（1）.如果根轨迹均在左侧，系统恒稳定
（2）.如果根轨迹均在实轴上，响应没有超调
（3）.在实轴的汇合点处，必然处于临界阻尼状
态，有重根。
（4）.已知, cos , ? 可过原点做等阻尼
线与根轨迹的交点是闭环极点
4.4 根轨迹分析
===== 幻灯片 51 =====
已知系统的结构与参数如图所示
（1）若要求系统阶跃响应无超调，确定k1的取值范围。
（2）确定使系统稳定的k1值范围，并分析k1增大时,系统阶跃
响应的变化情况。
（3）r(t)=t，要求稳态误差esr<=2.25, k1=?
R(S) 1 C(S)
k1 s(s+3)2
-
4.4 根轨迹分析
===== 幻灯片 52 =====
4.4 根轨迹分析
===== 幻灯片 53 =====
4.4 根轨迹分析
===== 幻灯片 54 =====
1.增加开环零点
（1）改变了根轨迹在上轴上的分布
（2）改变了的渐进线的条数、夹角、交点
（3）零点靠近虚轴，根轨迹左移,提高相对稳定
性、响应速度
4.4 根轨迹分析
===== 幻灯片 55 =====
2.增加开环极点
（1）改变了根轨迹在实轴上的分布
（2）改变了的渐进线的条数、夹角、交点
（3）极点越靠近虚轴，根迹右移,对动态性能不
利，对稳态性能有利;
4.4 根轨迹分析
===== 幻灯片 56 =====
3 增加开环偶极子对根轨迹的影响
（1）对远处的根轨迹没有影响
zc
（2）当偶极子非常靠近原点，但 pc
是很大的数值，从而使稳态性能得到大大改善;
4.4 根轨迹分析
===== 幻灯片 57 =====
1 根据给定性能指标，确定希望的闭环主
导极点位置。
2. 绘制待校正根轨迹，如果期望主导极点
不在根轨迹上，要加入校正装置，改造
原系统。
3 校后已通过期望主导极点，要检验开环
增益是否满足要求，否则在原点附近增
加开环偶极子。
===== 幻灯片 58 =====
4-2
4-4 (1)
4-5 （1）
4-6
4-10
4-12
4-17
===== 幻灯片 59 =====