MATLAB 程序：exe352.m(取 \(K=1,\lambda=5.25\) 及 \(K=1,\lambda=7\))

K=1;                lamda=5.25;

numg=[K];           deng=[1 4 -5 0];        numh=[lamda 1];        denh=[0 1];

[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh);

figure,             step(num,den,50);        grid on

(a) \(K=1,\lambda=5.25\)

(b) \(K=1,\lambda=7\)

图 3-57　控制系统的单位阶跃响应曲线(MATLAB)

3-53　已知系统微分方程为 \(m\ddot{y}(t)+c\dot{y}(t)+ky(t)=kx(t)\)，其初始条件全部为零。 试求：(1) \(x(t)=1(t)\) 时的输出响应 \(y(t)\)；(2) 输出 \(y(t)\) 无振荡的条件。

解

系统的自然频率 \(\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\)，阻尼比 \(\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}\)。

(1) \(x(t)=1(t)\) 时的输出响应 \(y(t)\)。

当 \(\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}\in[0,1)\) 时，即欠阻尼条件下

当 \(\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}=1\) 时，即临界阻尼条件下

当 \(\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}>1\) 时，即过阻尼条件下

其中 \(T_1=\dfrac{1}{\omega_n(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})}\)，\(T_2=\dfrac{1}{\omega_n(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})}\)。

(2) 输出 \(y(t)\) 无振荡的条件。

欲使输出 \(y(t)\) 无振荡，则要求 \(\zeta\geqslant1\)，即当 \(\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}\geqslant1\) 时，输出 \(y(t)\) 无振荡。

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