图 4-108 \(1+\dfrac{K(s+a)}{s^2(s+1)}=0\) 根轨迹图(MATLAB)
4-32 设系统如图 4-109 所示,试概略绘制 \(K\) 从 \(-\infty \to +\infty\) 时系统的根轨迹图。
（此处为控制系统结构图,结构为:\(R(s)\) 经比较点(负反馈)、比较点(负反馈)后接增益模块 \(K\),再接 \(\dfrac{s+1}{s^2(s+2)}\) 模块,输出 \(C(s)\);\(C(s)\) 经增益模块 \(K\) 反馈至第二个比较点,第二个比较点前的信号也反馈至第一个比较点)
图 4-109 控制系统结构图
解 根据控制系统结构图可得系统的开环传递函数为
\[
G(s)=\frac{K(s+1)}{s^2(s+2)+K^2(s+1)}
\]
则系统的特征方程为
\[
D(s)=s^2(s+2)+K^2(s+1)+K(s+1)=0
\]
等效开环传递函数为
\[
G_1(s)=\frac{K^*(s+1)}{s^2(s+2)}
\]
其中,\(K^*=K+K^2\)。
当 \(K\) 从 \(0\to+\infty\) 或 \(-\infty\to-1\) 时,\(K^*\) 从 \(0\to+\infty\);
当 \(K\) 从 \(0\to-1/2\) 或 \(-1\to-1/2\) 时,\(K^*\) 从 \(0\to-1/4\)。
因此欲要概略绘制 \(K\) 从 \(-\infty\to+\infty\) 时系统的根轨迹图,即概略绘制 \(K^*\) 从 \(-1/4\to+\infty\) 时等效系统的根轨迹图。
(1) \(K^*\) 从 \(0\to+\infty\)。
① 根轨迹的分支和起点与终点:由于 \(n=3,m=1,n-m=2\),故根轨迹有三条分支,其起点分别为 \(p_1=0,p_2=0,p_3=-2\),其终点分别为 \(z_1=-1\) 和无穷远处。
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