\[\gamma=\arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4\zeta^4}-2\zeta^2}}=28.0°\]
5-73 设某最小相位系统开环对数幅频特性曲线如图5-130所示。要求:(1)写出该系统的开环传递函数\(G(s)\);(2)判断闭环系统是否稳定,并说明理由。
图5-130 最小相位系统开环伯德图
解 (1)求\(G(s)\)表达式。
因\(20\lg K=30\text{dB}\),求得\(K=31.62\);
在\(\omega=0.1\)处,斜率变化为20,对应一阶微分环节\((10s+1)\);
在\(\omega=\omega_1\)处,斜率变化为\(-20\),对应惯性环节为\(\dfrac{1}{\dfrac{s}{\omega_1}+1}\)。
因\(L(\omega_1)=40\text{dB}\),\(L(0.1)=30\text{dB}\),而
\[\frac{40-30}{\lg\omega_1-\lg0.1}=20,\qquad \lg10\omega_1=\frac{1}{2}\]
求得\(\omega_1=\dfrac{\sqrt{10}}{10}=0.316\)。
在\(\omega=\omega_2\)处,斜率变化为\(-20\),对应于\(\dfrac{1}{\dfrac{s}{\omega_2}+1}\)。同理,在\(\omega_3\)和\(\omega_4\)处,分别对应于\(\dfrac{1}{\dfrac{s}{\omega_3}+1}\)和\(\dfrac{1}{\dfrac{s}{\omega_4}+1}\)。
由于\(L(100)=0\),\(L(\omega_4)=5\),所以
\[\frac{5-0}{\lg\omega_4-\lg100}=-60,\qquad \lg\frac{\omega_4}{100}=-\frac{1}{12}\]
求得\(\omega_4=82.54\)。同理
\[L(\omega_3)=20,\qquad \frac{20-5}{\lg\dfrac{\omega_3}{\omega_4}}=-40,\qquad \omega_3=34.81\]
\[L(\omega_2)=40,\qquad \frac{40-20}{\lg\dfrac{\omega_2}{\omega_3}}=-20,\qquad \omega_2=3.48\]
· 330 ·