(2) 根据系统的规范分解可知其可控可观测部分为
\[\dot{x}_{co} = -3x_{co} + u, \quad y = 2x_{co}\]
因此可得系统不可简约的传递函数
\[G(s) = \frac{2}{s+3}\]
(3) MATLAB 验证。最后,利用下列 MATLAB 程序验证,可得一致的结果。
MATLAB 程序:exe934.m
%(1)
A=[-1 0 0 0;0 -2 0 0;0 0 -3 0;0 0 0 -4];b=[1 0 1 0]';c=[0 0 2 1];
sys0=ss(A,b,c,0);T=[0 0 1 0;1 0 0 0;0 0 0 1;0 1 0 0];
sys=ss2ss(sys0,T)
%(2)
[num,den]=ss2tf(A,b,c,0);G=tf(num,den);
minsys=minreal(G)
9-35 已知系统传递函数 \(G(s) = \dfrac{20}{s^3+4s^2+3s}\),试写出系统可控标准型动态方程;设计反馈增益阵 \(k\),使系统极点配置在 \(-5,-2\pm j2\) 处,并画出系统结构图。
解 根据系统的传递函数可写出系统的可控标准型为
\[\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} u, \quad y = [20\ \ 0\ \ 0]x\]
显然系统可控,可以对其进行极点配置。
希望特征多项式为
\[|\lambda I - \bar{A}| = (\lambda+5)(\lambda+2-j2)(\lambda+2+j2) = \lambda^3 + 9\lambda^2 + 28\lambda + 40\]
取状态反馈控制律
\[u = v - kx, \quad k = [k_0\ \ k_1\ \ k_2]\]
则状态反馈后系统的状态方程为
\[\dot{x} = (A-bk)x + bv = \bar{A}x + bv\]
其特征多项式为
\[|\lambda I - (A-bk)| = \lambda^3 + (4+k_2)\lambda^2 + (3+k_1)\lambda + k_0 = \lambda^3 + 9\lambda^2 + 28\lambda + 40\]
令上式左右两边系数相等,可得
\[k_0 = 40, \quad k_1 = 25, \quad k_2 = 5\]
其系统的结构图如图 9-9 所示。
最后,利用下列 MATLAB 程序验证上述计算,可知结果一致。
MATLAB 程序:exe935.m
num=20;den=[1 4 3 0];
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);
[A1,B1,C1,D1]=normal_control(A,B,C,D)
P=[-5 -2+i*2 -2-i*2];
k=(acker(A1,B1,P))'
9-36 已知系统动态方程
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