\[
G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s^2(s+1)}\right]=(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1}{s^2(s+1)}\right]
\]
\[
=\frac{z-1}{z}\cdot\left[\frac{z}{(z-1)^2}-\frac{(1-\mathrm{e}^{-1})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}\right]
\]
\[
=\frac{\mathrm{e}^{-1}z+1-2\mathrm{e}^{-1}}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-1})}=\frac{0.3679z+0.2642}{z^2-1.3679z+0.3679}
\]
闭环脉冲传递函数为
\[
\Phi(z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{\mathrm{e}^{-1}z+1-2\mathrm{e}^{-1}}{z^2-z+1-\mathrm{e}^{-1}}=\frac{0.3679z+0.2642}{z^2-z+0.6321}
\]
(2) 输出响应 \(c^*(t)\)。输入 \(z\) 变换
\[
R(z)=\frac{z}{z-1}
\]
故输出为
\[
C(z)=\frac{G(z)R(z)}{1+G(z)}=\frac{0.3679z^2+0.2642z}{z^3-2z^2+1.6321z-0.6321}
\]
\[
=0.3679z^{-1}+z^{-2}+1.3996z^{-3}+1.3996z^{-4}+1.147z^{-5}+\cdots
\]
(3) 画响应曲线。系统误差闭环脉冲传递函数为
\[
\Phi_e(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{z^2-1.3679z+0.3679}{z^2-z+0.6321}
\]
\[
E(z)=\Phi_e(z)R(z)
\]
用 MATLAB 绘制的 \(c^*(t),e^*(t)\) 及 \(u(t)\) 的响应曲线如图 7-51 所示。
MATLAB 文本:exe736.m
T=1;t=0:1:20;
sys1=tf([0.3679,0.2642],[1,-1,0.6321],T);
sys2=tf([1,-1.3679,0.3679],[1,-1,0.6321],T);
figure(1);step(sys1,t);grid;
figure(2);step(sys2,t);grid;
figure(3);[y1,y2]=step(sys2);plot(y2,y1);grid;
图 7-51 系统单位阶跃响应曲线(MATLAB)
7-37 采样系统的结构图如图 7-52 所示,已知 \(T=1,r(t)=1(t)\)。试计算使系统输出量的 \(z\) 变换 \(C(z)=\dfrac{1}{z-1}\) 的 \(D(z)\),并画出 \(c^*(t)\) 的波形图。
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