解得
\[d_1=-0.53,\quad d_{2,3}=-2.23\pm \mathrm{j}0.79(舍去)\]
求得分离点的坐标为 \(d=-0.53\)。
根据以上几点,可以画出概略根轨迹如图 4-85 所示。
2) \(-(K_1+K_2)/K_2\leqslant -3\) 时取 \(K_1=3K_2\),即 \(-(K_1+K_2)/K_2=-4\)。
① 根轨迹的渐近线:
\[\sigma_a=\frac{0-1-3+4}{2}=0,\quad \varphi_a=\pm\frac{\pi}{2}\]
② 根轨迹的分离点:根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+3}=\frac{1}{d+4}\]
解得
\[d_1=-0.49,\quad d_2=-2.43(舍去),\quad d_3=-5.09(舍去)\]
求得分离点的坐标 \(d=-0.49\)。
根据以上几点,可以画出概略根轨迹如图 4-86 所示。
图 4-85 \(K_1=K_2\) 时图 4-84(a)系统概略根轨迹图
图 4-86 \(K_1=3K_2\) 时图 4-84(a)系统概略根轨迹图
由根轨迹可得,当 \(K_1\geqslant 0,K_2\geqslant 0\) 时,图 4-84(a)控制系统稳定。
(2) 图 4-84(b)控制系统。
开环传递函数
\[G(s)H(s)=\frac{K_1K_2(s+1)}{s^2(s+2)(s+3)}=\frac{K^*(s+1)}{s^2(s+2)(s+3)}\]
其中,\(K^*=K_1K_2\)。
① 实轴上的根轨迹:\([-3,-\infty),[-2,-1]\)。
② 根轨迹的渐近线:
\[\sigma_a=\frac{-2-3+1}{4-1}=-1.33,\quad \varphi_a=\pm\frac{\pi}{3},\pi\]
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