时的闭环根轨迹图；(2) 概略绘制 \(H(s)=\dfrac{s+1.05}{s}\) 时的闭环根轨迹图；(3) 比较开环零点变化对根轨迹形状的影响。
解 (1) 系统的开环传递函数。
\[G(s)H(s)=\frac{K(s+4)}{s(s+1)(s^2+4s+16)}=\frac{K(s+4)}{s(s+1)(s+2-j3.46)(s+2+j3.46)}\]
① 实轴上的根轨迹：\((-1,0]\)，\((-\infty,-4]\)。
② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-1-2-2+4}{3}=-0.33\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{3},\pi\)。
③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2-j3.46}+\frac{1}{d+2+j3.46}=\frac{1}{d+4}\]
求得分离点的坐标为 \(d_1=-0.51\)，\(d_2=-5.43\)。
④ 根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程
\[D(s)=s(s+1)(s^2+4s+16)+K(s+4)$$
$$=s^4+5s^3+20s^2+(16+K)s+4K$$
$$=0\]
令 \(s=j\omega\)，将其代入上式可得
\[(j\omega)^4+5(j\omega)^3+20(j\omega)^2+(16+K)(j\omega)+4K=0\]
即
\[\begin{cases}\omega^4-20\omega^2+4K=0\\-5\omega^3+(16+K)\omega=0\end{cases}\]
可解得 \(\omega=\pm2.83\)，\(K=24\)
根据以上几点，可以画出概略根轨迹图，如图4-161所示。显然，\(0<K<24\)，闭环系统稳定。
图 4-161 \(1+\dfrac{K(s+4)}{s(s+1)(s^2+4s+16)}=0\) 概略根轨迹图
(2) 系统的开环传递函数。
\[G(s)H(s)=\frac{K(s+1.05)}{s(s+1)(s^2+4s+16)}=\frac{K(s+1.05)}{s(s+1)(s+2-j3.46)(s+2+j3.46)}\]
① 实轴上的根轨迹：\([-1,0]\)，\((-\infty,-1.05]\)。
② 根轨迹的渐近线：\(\sigma_a=\dfrac{-1-2-2+1.05}{3}=-1.32\)，\(\varphi_a=\pm\dfrac{\pi}{3},\pi\)。
③ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
\[\frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+2-j3.46}+\frac{1}{d+2+j3.46}=\frac{1}{d+1.05}\]
求得分离点的坐标为 \(d_1=-0.807\)，\(d_2=-1.3\)。
④ 根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程