题海 · 题解 · p.380
第七章 线性离散系统的分析与校正
7-1 试根据定义 \(E^*(s)=\sum_{n=0}^{\infty}e(nT)\mathrm{e}^{-nTs}\)，确定下列函数的 \(E^*(s)\) 和闭合形式的 \(E(z)\)：
(1) \(e(t)=\cos\omega t\)；(2)\(E(s)=\dfrac{1}{(s+a)(s+b)}\)。
解 本题目的在于熟悉连续和离散函数形式的转换，需注意所定义的表达式的作用。
(1) 本题关键是应用欧拉公式 \(\cos\omega t=\dfrac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}+\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}}{2}\)。由定义
\[E^*(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\cos n\omega t\,\mathrm{e}^{-nsT}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega nT}+\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega nT}}{2}\right)\mathrm{e}^{-nsT}\]
\[=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega nT}\mathrm{e}^{-nsT}+\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega nT}\mathrm{e}^{-nsT}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{e}^{-sT}}+\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{e}^{-sT}}\right)\]
\[E(z)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}z^{-1}}+\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}z^{-1}}\right)=\frac{z(z-\cos\omega t)}{z^{2}-2z\cos\omega t+1}\]
(2) 本题关键是要先求出 \(e(t)\)。将 \(E(s)\) 展成部分分式，有
\[E(s)=\frac{k_1}{s+a}+\frac{k_2}{s+b}\]
式中
\[k_1=\frac{1}{b-a},\quad k_2=\frac{1}{a-b}\]
于是
\[e(t)=k_1\mathrm{e}^{-at}+k_2\mathrm{e}^{-bt}\]
经采样拉普拉斯变换，得
\[E^*(s)=\frac{k_1}{1-\mathrm{e}^{-aT}\mathrm{e}^{-sT}}+\frac{k_2}{1-\mathrm{e}^{-bT}\mathrm{e}^{-sT}}\]
故有
\[E(z)=\frac{k_1}{1-\mathrm{e}^{-aT}z^{-1}}+\frac{k_2}{1-\mathrm{e}^{-bT}z^{-1}}=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-aT}z^{-1}}-\frac{1}{1-\mathrm{e}^{-bT}z^{-1}}\right)\]
\[=\frac{1}{b-a}\left(\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-aT}}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-bT}}\right)\]
7-2 试求下列函数的 \(z\) 变换：
(1) \(e(t)=1+\mathrm{e}^{-2t}\)； (2) \(e(t)=\mathrm{e}^{-at}\sin\omega t\)；
(3) \(E(s)=\dfrac{1}{s(s+3)^2}\)； (4) \(E(s)=\dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}\)。
解 本题的目的在于熟悉 \(z\) 变换的各种方法。
(1) \(E(z)=\mathscr{Z}[1+\mathrm{e}^{-2t}]=\mathscr{Z}[1]+\mathscr{Z}[\mathrm{e}^{-2t}]\)
其中 \(\mathscr{Z}[1(t)]=\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}=\dfrac{z}{z-1}\)， \(\mathscr{Z}[\mathrm{e}^{-2t}]=\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{e}^{-2nT}z^{-n}=\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{-2T}}\)
则有 \(E(z)=\dfrac{z}{z-1}+\dfrac{z}{z-\mathrm{e}^{-2T}}=\dfrac{z(2z-1-\mathrm{e}^{-2T})}{z^{2}-(1+\mathrm{e}^{-2T})z+\mathrm{e}^{-2T}}\)
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