(1) 输入 \(r(t)=2+t\)，欲使稳态误差小于 0.5，试选择 \(K\) 值；(2) 输入 \(r(t)=1(t)\)，求系统过渡过程单调、振荡衰减和发散时，\(K\) 值的各允许范围。
图 7-43 闭环采样系统结构图
解 (1) \(K\) 值选择。开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[\frac{1-\mathrm{e}^{-Ts}}{s}\cdot\frac{K\mathrm{e}^{-0.5s}}{s}\right]=K(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{\mathrm{e}^{-0.5s}}{s^{2}}\right]\]
由于 \(T=0.25\)，故 \(\mathrm{e}^{-0.5s}=\mathrm{e}^{-2Ts}=\dfrac{1}{z^{2}}\)，所以
\[G(z)=\frac{0.25K}{z^{2}(z-1)}\]
闭环误差脉冲传递函数为
\[\Phi_e(z)=\frac{1}{1+G(z)}=\frac{z^{2}(z-1)}{z^{2}(z-1)+0.25K}\]
闭环特征方程为
\[D(z)=z^{3}-z^{2}+0.25K=0\]
将 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\) 代入特征方程，得 \(w\) 域特征方程
\[D(w)=0.25Kw^{3}+(2-0.75K)w^{2}+(4+0.75K)w+(2-0.25K)=0\]
在 \(w\) 域中用劳斯表分析系统的稳定性，可以得到使系统稳定的 \(K\) 值范围。列劳斯表如下：
| \(w^3\) | \(0.25K\) | \(4+0.75K\) |
| \(w^2\) | \(2-0.75K\) | \(2-0.25K\) |
| \(w^1\) | \((8-2K-0.5K^{2})/(2-0.75K)\) | \(0\) |
| \(w^0\) | \(2-0.25K\) |
由劳斯判据知，使系统稳定的 \(K\) 值
\[\begin{cases}K>0\\2-0.75K>0\\8-2K-0.5K^{2}>0\\2-0.25K>0\end{cases}\]
要求：\(K>0\)，\(K<2.6667\)，\(K<8\)，\(K<2.472\)。解得使系统稳定的 \(K\) 值范围
\[0<K<2.472\]
从满足稳态误差要求考虑，由于
\[R(z)=\mathscr{Z}[2+t]=\frac{2z}{z-1}+\frac{Tz}{(z-1)^{2}}=\frac{2z(z-1)+0.25z}{(z-1)^{2}}=\frac{z(2z-1.75)}{(z-1)^{2}}\]
故稳态误差