图 7-62 采样系统结构图
\[G(s)=\frac{(1-\mathrm{e}^{-Ts})K\mathrm{e}^{-Ts}}{s(T_0s+1)}\]
开环脉冲传递函数为
\[G(z)=Kz^{-1}(1-z^{-1})\mathscr{Z}\left[\frac{1/T_0}{s(s+1/T_0)}\right]=K\frac{z-1}{z^2}\cdot\frac{(1-\mathrm{e}^{-T/T_0})z}{(z-1)(z-\mathrm{e}^{-T/T_0})}\]
代入 \(\mathrm{e}^{-T/T_0}=0.2\),得
\[G(z)=\frac{0.8K}{z(z-0.2)}\]
闭环脉冲传递函数为
\[\Phi(z)=\frac{G(z)}{1+G(z)}=\frac{0.8K}{z^2-0.2z+0.8K}\]
闭环特征方程为
\[z^2-0.2z+0.8K=0\]
令 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\),代入上式,得 \(w\) 域闭环特征方程
\[0.8(1+K)w^2+(2-1.6K)w+(1.2+0.8K)=0\]
令
\[1+K>0,\quad 2-1.6K>0,\quad 1.2+0.8K>0\]
在 \(K>0\) 要求下,使系统稳定的 \(K\) 值范围为
\[0<K<1.25\]
(2) 求 \(a,b,c\)。
令 \(K=1,D(z)=\dfrac{bz+c}{z-1}\),系统闭环特征方程为
\[1+D(z)G(z)=0\]
代入 \(D(z)\) 及 \(G(z)\) 表达式,化简后有
\[z^3-1.2z^2+(0.2+0.8b)z+0.8c=0\]
由题意,采样系统有三重根 \(a\),则闭环特征方程又可表示为
\[1+D(z)G(z)=(z-a)^3=0\]
展开得
\[z^3-3az^2+3a^2z-a^3=0\]
令两式对应项系数相等,有
\[3a=1.2,\quad a=0.4\]
\[3a^2=0.2+0.8b,\quad b=\frac{3a^2-0.2}{0.8}=0.35\]
\[a^3=-0.8c,\quad c=-\frac{a^3}{0.8}=-0.08\]
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