第06讲 · 第三章例题课：一道题里同时问"稳不稳、准不准、快不快"

先说清楚这一讲是干什么的

第04、05 讲把第三章的"理论"讲完了。这一讲不讲新理论，是老师带着做 5 道典型例题。

但请不要因为"是例题课"就轻视它。第三章在考研里是必考，而且考法几乎固定：一道大题里把三件事串在一起问。这一讲的价值不在"看会答案"，而在学会一道题拿到手之后先做什么、再做什么。所以本讲会把每道题的解题动作顺序显式写出来。

【难度预告】这一讲本身的数学不难（基本是代公式），真正的难点有三个，后面都会标出来： 1. "非典型二阶系统"怎么化成"典型二阶系统"——这一步一错，后面全错。 2. 误差定义在哪个点、开环传递函数到底是谁——这是稳态误差题最大的失分点，比公式本身难得多。 3. 反推题：给你响应曲线，倒过来求系统参数。方向是反的，很多人第一次做会懵。

零、先把这一讲要用的"工具箱"重新摆一遍

第 04、05 讲讲过的东西，这里不假设你还记得，全部重新交代一遍。你若读着觉得"这个我记得"，快速扫过即可；觉得陌生就在这里停一停，这一节是后面所有题的地基。

本讲还会用到几块数学前置（自然对数 \(\ln\)、反三角函数、弧度制、复数与复平面）。这些都在用到的地方就地补，不需要你先去补高数。想系统看一遍的，去 ../02_预备知识/00_数学物理零起点补给.md（复数在第 3 节、导数在第 1 节、拉氏变换在第 4 节）。

0.0 复数与复平面速览（后面"极点""左半平面""\(j\)"全靠这一小节）

这一小节是新加的地基。第 04、05 讲里"极点""左半平面"这些词你多半没真站稳，这里补到"够用"为止。想看更细的，见预备知识第 3 节"复数与 \(j\)"。

（1）虚数单位 \(j\) 规定 \(j^{2}=-1\)。也就是说 \(j\) 是一个"平方等于负一"的数——普通实数里没有这种数（任何实数平方都 \(\ge0\)），所以它被叫做"虚"数。它不神秘，就是为了让所有二次方程都有解而扩充出来的一种数。 数学书上写 \(i\)，工科（电类、自控）一律写 \(j\)，因为 \(i\) 在电路里被电流占用了。本讲之后见到 \(j\)，就是虚数单位。

（2）一个复数 = 平面上的一个点 复数长成 \(s=\sigma+j\omega\)（\(\sigma\) 读"西格玛"，\(\omega\) 读"欧米伽"，都是普通实数）。 - \(\sigma\) 叫实部，画成横坐标； - \(\omega\) 叫虚部，画成纵坐标。

把它画出来的那张平面就叫复平面（也叫 \(s\) 平面）。纵轴（\(\sigma=0\) 那条竖线）叫虚轴；虚轴左边（\(\sigma<0\)）叫左半平面，右边（\(\sigma>0\)）叫右半平面。就这么简单——所谓"根在左半平面"，翻成人话就是"这个根的实部是负数"。

（3）为什么控制里天天盯着"左半右半" 因为系统的响应里会出现 \(e^{\sigma t}\) 这种项（\(\sigma\) 就是根的实部）： - \(\sigma<0\)（左半平面）：\(e^{\sigma t}\) 随时间衰减到零，晃动会停下来 ⇒ 稳定； - \(\sigma>0\)（右半平面）：\(e^{\sigma t}\) 随时间爆炸式增长 ⇒ 发散、不稳定； - \(\sigma=0\)（正在虚轴上）：不增不减，等幅晃 ⇒ 临界稳定，工程上不可用。

所以"稳定 = 所有闭环极点都在左半平面"这句话，本质上只是在说"响应里每一项都带一个衰减的 \(e^{\sigma t}\)"。

（4）"极点"是什么（这个词第 05 讲出现过，这里重新定义清楚） 一个传递函数是分式，比如 \(\dfrac{4}{s^{2}+2s+4}\)。 极点 = 让分母等于零的那些 \(s\) 值，也就是特征方程（分母 = 0）的根。 为什么叫"极"：分母趋于零时整个分式趋于无穷大，函数在那里"顶到天"，故名极点。 同理，零点 = 让分子等于零的那些 \(s\) 值。 极点一般是复数，所以要画在复平面上，所以才有"在左半平面还是右半平面"这个问法。

（5）串到本讲：典型二阶系统的极点是 \(s=-\xi\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\xi^{2}}\)（欠阻尼时），实部是 \(-\xi\omega_n\)。所以后面 0.2 节说"\(\xi\omega_n\) 正是闭环极点实部的绝对值"，指的就是这件事：实部绝对值越大，\(e^{-\xi\omega_n t}\) 衰减越快，\(t_s\) 越小。

【你可能会以为】"虚部"是虚构的、没有物理意义。 但其实不是。极点的虚部 \(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\) 就是 \(\omega_d\)，即系统实际晃动的频率，你在示波器上能看见。实部管"衰减多快"，虚部管"晃多快"——两个都是能测出来的真东西。

【第一遍看不懂很正常】这一节的卡点通常在"为什么一个方程的根会跑到平面上去"。先接受一个操作性的说法：根就是数，普通的数画在数轴上，带 \(j\) 的数画在平面上，仅此而已。

0.1 名词：什么叫"典型二阶系统"

"二阶"的意思是：描述这个系统的微分方程里，输出最高求了 2 次导数；换成传递函数（把微分方程翻译成 \(s\) 的代数式之后的样子），就是分母是 \(s\) 的二次多项式。

补：导数就是"变化率"。位置对时间求一次导 = 速度，求两次导 = 加速度。所以"二阶"物理上通常意味着系统里有"惯性 + 加速度"这类东西（比如一个有质量的物体被弹簧拉着）。 补：传递函数 \(G(s)\) = 输出的拉氏变换 ÷ 输入的拉氏变换（初始条件全为零时）。可以先粗暴理解成"这个方框对信号做了什么"的说明书。\(s\) 是拉氏变换里的复数变量，暂时把它当成"代替求导的记号"：对时间求一次导，在 \(s\) 域里就是乘一个 \(s\)。

而"典型二阶系统"是一个很窄的、有严格长相要求的东西。它必须同时满足两条：

1. 它是单位负反馈系统。"反馈"= 把输出量测回来和输入比较；"负"= 做减法（输入减去反馈值）；"单位"= 测回来的路上没有任何环节，反馈系数就是 1，原封不动地把输出送回来。
2. 它的前向通道（从误差信号出发、一路走到输出的那条路）传递函数必须长成

这个式子在说什么：从误差到输出，中间是"一个积分器 + 一个一阶惯性环节"的串联。 每个符号是什么： - \(\omega_n\) 读作"欧米伽 n"，叫无阻尼自然振荡角频率。大白话：如果这个系统一点阻力都没有，它自己会以多快的频率来回晃。\(\omega_n\) 越大，系统反应越"快"。单位 rad/s。 - \(\xi\) 读作"克赛"，叫阻尼比。大白话：晃动被"刹车"刹得有多狠。\(\xi=0\) 完全不刹车（永远等幅晃）；\(\xi\) 越大刹得越狠。纯数，无单位。 - 分母里那个孤零零的 \(s\)，代表一个积分器（积分 = 求导的反操作，把速度累加成位置的那种环节）。有它在，系统才有"记忆"，稳态误差才可能为零——第 05 讲讲系统型别时用过这一点。

把这个 \(G(s)\) 放进单位负反馈里，闭环传递函数（从输入 \(R\) 到输出 \(C\) 的整体说明书）就一定是

在说什么：整个闭环系统的行为，被 \(\xi\) 和 \(\omega_n\) 两个数完全决定。 怎么用：这是本讲出现频率最高的动作——把你算出来的实际闭环传递函数，和这个标准长相逐项对齐，就能读出 \(\xi\) 和 \(\omega_n\)。

为什么闭环 \(=\dfrac{G}{1+G}\)？推一下（第二章内容，这里补上）：误差 \(E=R-C\)，输出 \(C=G\cdot E\)。代入得 \(C=G(R-C)\)，即 \(C(1+G)=GR\)，所以 \(C/R=G/(1+G)\)。不必背。

【你可能会以为】只要分母是 \(s\) 的二次式，就是典型二阶系统。 但其实不是。分子上有 \(s\)、或者反馈通道里挂着别的环节（不是单位负反馈），它就不典型。 为什么这事要紧：本讲所有暂态性能公式（超调量、峰值时间那些）都是从上面那个标准闭环式子推出来的。你的系统长得不一样，公式就不能直接套。所以第一道题上来就要求"把系统等效成单位负反馈"——这不是形式主义，是取得使用公式资格的手续。

0.2 暂态性能指标公式（据 PPT 幻灯片 42~44）

前提：欠阻尼，即 \(0<\xi<1\)。"欠阻尼"= 刹车刹得不够狠，所以系统会冲过头、来回晃几下再停——响应曲线是衰减振荡。（据 PPT 幻灯片 46：\(\xi=0\) 等幅振荡；\(\xi<0\) 发散振荡；\(\xi=1\) 临界阻尼，单调上升无超调；\(\xi>1\) 过阻尼，也是单调上升但更慢。）

（1）上升时间 \(t_r\) $\(t_r=\frac{\pi-\theta}{\omega_d}=\frac{\pi-\theta}{\omega_n\sqrt{1-\xi^{2}}},\qquad \theta=\arccos\xi=\arctan\frac{\sqrt{1-\xi^{2}}}{\xi}\)$ - 在说什么：输出第一次达到稳态值所花的时间，衡量"起步快不快"。 - 符号：\(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\) 叫阻尼振荡频率，是系统实际晃动的频率（比无阻尼时慢，因为被刹车拖住了）。\(\theta\) 是由 \(\xi\) 唯一决定的一个角。 - 怎么用：先由 \(\xi\) 算 \(\theta\)，再算 \(\omega_d\)，代入。\(\theta\) 必须用弧度，别用角度制——低级但常见的失分点。

就地补（1）：\(\arccos\)、\(\arctan\) 是什么？ \(\cos\)（余弦）、\(\tan\)（正切）是"给角度、出比值"的函数，比如 \(\cos 60^\circ=0.5\)。 \(\arccos\)、\(\arctan\) 是它们的反操作——"给比值、倒过来问是哪个角"。所以 \(\arccos 0.5\) 读作"余弦值等于 0.5 的那个角是谁"，答案就是 \(60^\circ\)，因为 \(\cos 60^\circ=0.5\)。 计算器上按 \(\cos^{-1}\) 或 \(\mathrm{acos}\) 就是它，那个 \(-1\) 不是倒数的意思，是"反函数"的记号。 本讲里 \(\theta=\arccos\xi\) 的几何含义：把闭环极点画在复平面上（见 0.0 节），从原点连到极点的那条线与负实轴的夹角就是 \(\theta\)，而 \(\cos\theta\) 恰好等于 \(\xi\)。所以"\(\xi\) 定了，\(\theta\) 就定了"，两者是一回事的两种说法。

就地补（2）：弧度制是什么？为什么写 \(\pi/3\) 不写 \(60\)？ 量角有两套单位。角度制把一整圈分成 \(360\) 份，每份 \(1^\circ\)。弧度制换一种量法：一个角对应的圆弧长度 ÷ 半径，得数就是这个角的弧度数。一整圈的弧长是 \(2\pi r\)，除以 \(r\) 得 \(2\pi\)，所以一整圈 \(=2\pi\) 弧度 \(=360^\circ\)，于是： $\(180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad 1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad},\qquad 60^\circ=\frac{60}{180}\pi=\frac{\pi}{3}\approx1.047\ \text{rad}\)$ 这就是 \(\arccos 0.5=\pi/3\approx1.047\) 的来历：先答"是 \(60^\circ\)"，再换算成弧度。 为什么本讲必须用弧度：因为 \(t_r=\dfrac{\pi-\theta}{\omega_d}\) 里的分子拿 \(\pi\) 去减 \(\theta\)，\(\pi\) 本身就是弧度数（\(180^\circ\)）。你若把 \(\theta\) 写成 \(60\)，就成了"\(3.1416-60\)"，直接算出负的时间——一眼就知道错了。同一个式子里的角，单位必须统一，这才是"必须用弧度"的真正理由，不是玄学规定。 - 附注（PPT 幻灯片 46）：对过阻尼（\(\xi>1\)）系统没有"第一次到达稳态值"这回事，上升时间改定义为输出从 10% 升到 90% 所需时间。

（2）峰值时间 \(t_p\) $\(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^{2}}}\)$ - 在说什么：输出冲到最高点那一刻的时间。 - 怎么用：反推题里极其有用——曲线上"最高点的横坐标"就是 \(t_p\)，一读就得一个方程。

（3）超调量 \(\sigma\%\) $\(\sigma\%=\frac{h(t_p)-h(\infty)}{h(\infty)}\times 100\%=e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}}}\times100\%\)$ - 在说什么：冲过头冲了多少，用"超出稳态值的部分 ÷ 稳态值"衡量。 - 符号：\(h(t)\) 是单位阶跃响应（输入突然从 0 跳到 1 之后输出随时间的曲线）；\(h(t_p)\) 是最高点的值，\(h(\infty)\) 是最终稳定下来的值。 - 关键性质（PPT 明写）：超调量只与 \(\xi\) 有关，与 \(\omega_n\) 无关。这条是反推题的命根——读出超调量就直接得到 \(\xi\)，一步到位，不用联立方程。

（4）调节时间 \(t_s\) $\(\Delta=\pm5\%:\ t_s=\frac{3.5}{\xi\omega_n}\qquad\qquad \Delta=\pm2\%:\ t_s=\frac{4.5}{\xi\omega_n}\)$ - 在说什么：输出进入"稳态值附近 \(\pm\Delta\) 的小带子"并且再也不出来所需的时间，衡量"多久算彻底稳下来"。 - 符号：\(\Delta\) 是允许的误差带宽度，是题目给的，不是算出来的。 - 【难点】题目不说 \(\Delta\) 时怎么办：老师明确建议两个都算（\(\pm2\%\) 与 \(\pm5\%\) 各写一个），并注明各自对应的 \(\Delta\)。这是拿分技巧，也是严谨性要求。 - \(t_s\) 只与乘积 \(\xi\omega_n\) 有关，而 \(\xi\omega_n\) 正是闭环极点实部的绝对值（"实部"是什么见 0.0 节）——PPT 原话"\(t_s\) 与闭环极点的实部成反比"。物理上：衰减快慢由包络线 \(e^{-\xi\omega_n t}\) 决定。

"包络线"是什么：欠阻尼响应是一条来回晃、幅度越来越小的曲线。把每一次晃动的峰尖连起来画一条平滑的线，它像个信封口袋一样从上下两侧"套住"整条振荡曲线，这条线就叫包络线。它的表达式正是 \(\pm e^{-\xi\omega_n t}\)（乘上稳态值）。所以振荡幅度衰减多快，完全由 \(\xi\omega_n\) 说了算：\(\xi\omega_n\) 越大，口袋收得越快，系统越早进入误差带，\(t_s\) 越小。这就是 \(t_s=3.5/(\xi\omega_n)\) 这个式子里 \(\xi\omega_n\) 在分母上的物理来由。

（PPT 幻灯片 44 还给了第五个指标"振荡次数" \(N=t_s/(2\pi/\omega_d)\)，即在调节时间内晃了几个来回。考研中远不如上面四个常考，此处不展开。）

0.3 两个必须背下来的特殊值（老师要求记住）

• 验证一下不是瞎背：\(\xi=0.707\) 时 \(\sqrt{1-\xi^2}\approx0.707\)，指数变成 \(-\pi\)，\(e^{-\pi}=0.0432\)。\(\xi=0.5\) 时 \(\sqrt{1-0.25}=0.866\)，指数 \(=-\pi\times0.5/0.866=-1.814\)，\(e^{-1.814}=0.163\)。对得上。
• 【存疑·待核】老师口中的"最佳阻尼比 = 0.707"，与 PPT《第3章线性系统的时域分析-1》幻灯片 40 写的"（3）0.4 0.8 最佳阻尼状态"（括号里的"超调量适度、调节时间较短"是本笔记按上下文所加的说明，非 PPT 原字）说法不完全一致。可理解为：0.4~0.8 是工程上的"较好区间"，0.707 是该区间里最常被指定的那个点（在频域里它对应幅频特性最平坦，第五章会再遇到）。 考试题写"最佳阻尼比"时按 0.707 用。

0.4 稳态误差怎么算（第 05 讲讲过，这里复述"动作"）

稳态误差 \(e_{ss}\) = 时间趋于无穷时误差信号还剩多少。大白话：折腾完了，最后停下来的位置和目标差多少。

方法一：终值定理法（PPT 幻灯片 31） $\(e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to0}sE(s)=\lim_{s\to0}s\,\Phi_e(s)R(s)\)$ - 在说什么：不必真去解微分方程画出 \(e(t)\) 曲线，只要把 \(sE(s)\) 里的 \(s\) 令为 0，就直接得到"最后剩多少"。这是拉氏变换给的一个大便宜。 - 符号：\(\Phi_e(s)=E(s)/R(s)\) 叫误差传递函数——从输入到"误差信号"这条通路的说明书。\(R(s)\) 是输入信号的拉氏变换。 - 常用输入的拉氏变换（就地补，不用翻表）：单位阶跃 \(1(t)\to 1/s\)；单位斜坡 \(t\to 1/s^2\)；单位加速度 \(\tfrac12 t^2\to 1/s^3\)；单位脉冲 \(\delta(t)\to 1\)。 - 【难点·前提条件】PPT 幻灯片 31 明写：\(sE(s)\) 的极点必须都在 \(s\) 左半平面（可含原点）。（"极点"= 让分母为零的那些 \(s\) 值 = 特征方程的根；"左半平面"= 复平面上实部为负的那半边。两个词在 0.0 节已定义，忘了就翻回去。）翻成人话：系统必须先是稳定的，终值定理才有意义。不稳定的系统输出发散，"最后停在哪"这个问题本身没意义。老师在例题三特别强调：做稳态误差题之前，先判稳。这是评分点，不是废话。 - PPT 还列了此法的局限：只给出 \(t\to\infty\) 那一个数，看不出误差随时间怎么变；高阶系统极点不好求时不便使用。

方法二：静态误差系数法（PPT 幻灯片 33、42） 先看开环传递函数 \(G(s)H(s)\) 里有几个积分环节（分母中 \(s^{\nu}\) 的 \(\nu\)），\(\nu=0,1,2\) 分别叫 0 型、Ⅰ 型、Ⅱ 型系统。

先把三个系数一个一个讲清楚，再看表。（\(A\) 在下面三处都指输入信号的幅值系数：输入写成 \(r(t)=A\cdot 1(t)\)、\(A t\)、\(\tfrac12At^2\) 时的那个 \(A\)。单位阶跃就是 \(A=1\)，\(r(t)=2t\) 就是 \(A=2\)。）

（1）位置误差系数 \(K_p\)——管阶跃输入 $\(K_p=\lim_{s\to0}G(s)H(s),\qquad e_{ss}=\frac{A}{1+K_p}\)$ - 一句大白话：\(K_p\) 衡量"系统在直流（信号不再变化）时的放大倍数有多大"。放大倍数越大，只需要越小的误差就能顶出足够的输出，所以剩下的稳态误差越小。 - 每个符号：\(G(s)H(s)\) 是开环传递函数（见下面的【难点·本讲最大坑】）；\(\lim_{s\to0}\) 是"令 \(s\) 趋近于 0 后这个式子等于多少"，\(s\to0\) 对应的正是"时间趋于无穷、信号不再变化"的稳态情形。\(A\) 是阶跃的高度。 - 为什么分母是 \(1+K_p\) 而不是 \(K_p\)：因为它是从 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{1}{1+GH}\cdot\dfrac{A}{s}=\dfrac{A}{1+\lim GH}\) 直接算出来的——阶跃的 \(R(s)=A/s\)，那个 \(s\) 被前面的 \(s\) 约掉，剩下整个 \(\dfrac{1}{1+GH}\) 取极限，所以 \(1\) 原封不动地留着。这个"1"不是记忆技巧，是误差传递函数 \(\frac{1}{1+GH}\) 里那个 1。 - 怎么用：阶跃输入题，先算 \(K_p\)，再套 \(A/(1+K_p)\)。

（2）速度误差系数 \(K_v\)——管斜坡输入 $\(K_v=\lim_{s\to0}s\,G(s)H(s),\qquad e_{ss}=\frac{A}{K_v}\quad(r(t)=At)\)$ - 一句大白话：斜坡是"目标匀速往前跑"，\(K_v\) 衡量系统追速度的本事。\(K_v\) 越大追得越紧，落后得越少。 - 为什么这里没有那个 1：斜坡的 \(R(s)=A/s^2\)，代进去 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\dfrac{1}{1+GH}\cdot\dfrac{A}{s^{2}}=\lim_{s\to0}\dfrac{A}{s(1+GH)}=\lim_{s\to0}\dfrac{A}{s+sGH}\)。当 \(s\to0\) 时前一项 \(s\) 自己变成 0 没了，只剩 \(\lim sGH=K_v\)，所以分母就是纯 \(K_v\)。"阶跃加 1、斜坡不加 1"的差别，全部来自这里：阶跃时那个 1 没被 \(s\) 乘掉，斜坡时被乘掉了。 - 怎么用：斜坡题算 \(K_v\)，套 \(A/K_v\)。注意 \(A\) 别丢（例题三的 \(r(t)=2t\) 就是 \(A=2\)）。

（3）加速度误差系数 \(K_a\)——管抛物线（加速度）输入 $\(K_a=\lim_{s\to0}s^{2}G(s)H(s),\qquad e_{ss}=\frac{A}{K_a}\quad(r(t)=\tfrac12At^{2})\)$ - 一句大白话：目标不但在跑，还在加速。\(K_a\) 衡量系统追加速度的本事。理由同 \(K_v\)：\(R(s)=A/s^3\)，被 \(s\) 乘掉一次剩 \(1/s^2\)，正好把 \(s^2GH\) 顶出来，分母里也不带 1。 - 怎么用：考研里这一类出得最少，但表要会填。

（4）现在看表——每一格的取值都有来由，不要死背

先说清楚"型别"：把开环传递函数写成 \(G(s)H(s)=\dfrac{K\prod(\tau_i s+1)}{s^{\nu}\prod(T_j s+1)}\) 的样子，分母里孤零零的 \(s^{\nu}\) 有几次方，就是几型（\(\nu\) 读"纽"）。\(K\) 是开环增益（把所有 \(s\) 令为 0 后剩下的那个常数倍率）。关键在于：取极限时每个孤零零的 \(s\) 都会趋于 0，而 \(s\) 在分母上就把整个式子顶成 \(\infty\)，被乘到分子上就把整个式子压成 0。表里每一格无非是数这件事。

这张表的物理含义（比表本身更该记住）：\(\nu\) 就是系统里积分器的个数。斜坡输入下 Ⅰ 型系统必然留下常值误差，Ⅱ 型才归零，根子在于——

积分器必须留住误差才能干活：斜坡输入是"目标以恒定速度往前跑"。系统里只有一个积分器（积分 = 把输入不断累加），它必须持续保有一个非零的误差在输入端，才能不断"积"出跟得上目标速度的输出；误差一旦归零，积分器的输入就没了，输出速度立刻掉下来，又追不上了。所以 Ⅰ 型跟踪斜坡必然留下常值稳态误差 \(A/K_v\)。想让斜坡也无差，就得再加一个积分器（变成 Ⅱ 型）——那时第一个积分器负责产生速度，第二个才有余地把误差压到零。 同理，0 型系统连一个积分器都没有，追不上"匀速跑的目标"就更谈不上，所以它的 \(K_v=0\)、斜坡误差 \(A/0=\infty\)：误差会一直增大，根本跟不上。这就是表里"0 型的 \(K_v\) 是 0"在物理上的意思，不是一个凭空的数字。

PPT 注明此法局限：只适用于上述三种给定信号（阶跃、斜坡、抛物线），且只能求 \(t\to\infty\) 的终值。

【你可能会以为】\(K_v=0\) 表示"误差为零"。 但其实相反。\(K_v\) 在分母上，\(K_v=0\) 意味着 \(e_{ss}=A/0=\infty\)，是误差无穷大、彻底跟不上。\(K\) 系数越大误差越小，是反着的。这是这张表最容易看反的一格。

【第一遍看不懂很正常】这一节的卡点通常在"\(\lim_{s\to0}\) 到底在干什么"。记住一句操作性的话：\(s\to0\) 就是"时间 \(\to\infty\)"在 \(s\) 域里的样子（终值定理 \(\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to0}sE(s)\) 说的正是这件事），所以这一整节都是在问"折腾完了以后还差多少"。

先解释三个结构图术语（后面反复用，不解释这几个词，下面这段最重要的话就落不了地）： - 比较点（又叫综合点、相加点）：结构图上画成一个小圆圈、旁边标着 \(+\) 和 \(-\) 号的那个点。它干的事就是把两路信号做加减。本讲最常见的是"输入 \(r\) 进来、反馈信号带负号进来"，圆圈出来的那一路就是误差信号 \(e\)。所以——误差信号就是从某个比较点的输出端引出来的。"误差定义在哪"这个本讲最大的坑，问的其实就是"你看的是哪个比较点的出口"。 - 节点（又叫引出点、分支点）：结构图上画成一个实心小圆点，表示同一个信号从这里分出好几路送到不同地方。分出去的每一路数值完全一样（信号被"抄"了几份，不是被分掉）。 - 支路：结构图/信号流图上连接两点的一段通路，上面挂着一个环节（一个传递函数）。例如例题三的"测速反馈支路"就是从输出端引回去的那一条，上面挂着 \(\tau s\)。

【你可能会以为】节点（引出点）会把信号"分成两半"，每一路只剩一半。 但其实不是。信号是信息不是水流，引出点是复制，每一路都是完整的原信号。这个直觉错了会导致结构图化简时凭空多出系数。

【难点·本讲最大坑】"开环传递函数"到底是哪一段？ 很多人以为是"前向通道那一串"。不是。开环传递函数 = 把反馈回路在比较点处断开后，从误差信号绕一圈到反馈信号所经过的全部环节之积，即 \(G(s)H(s)\)。在例题三里系统内部还套着一个小闭环（测速反馈），这时开环传递函数 = 比例环节 × 那个小闭环的等效传递函数，小闭环必须先化简掉。这一步错了，型别判错，误差系数全错。

0.5 梅森公式（本讲三道题靠它求闭环传递函数，必须先拆开讲）

"梅森"是人名 Mason（字幕把它糊成了"眉心/梅熏"，别被误导）。它是第二章的工具，作用是：不用一步步搬方框化简结构图，直接看图写出闭环传递函数。本讲例题三、四、五都用它，所以在这里补到"能算"为止。

（1）先把四个词用大白话讲清楚

• 前向通道：从输入端出发、一路向前走到输出端，中间不重复经过任何一点的那条路。它的"总增益"就是这条路上各个环节的传递函数连乘。
• 回路（闭合回路）：从某点出发，绕一圈又回到出发点的那条闭合路径。
• 回路增益 \(L_i\)：沿这个回路走一圈，把路上遇到的每个环节的传递函数全部相乘，得到的那个式子就是回路增益。 关键：负反馈的比较点上有一个负号，这个负号也要乘进去。所以负反馈回路的 \(L_i\) 自带一个负号，是个负的式子。这一点是下面"减号变加号"的全部原因。
• 回路与前向通道"接触"：两者有公共的点或公共的支路，就叫接触；一个公共点都没有，叫不接触。同理，两个回路之间也分接触/不接触。
• 余因子式 \(\Delta_k\)（也叫"其余因式"）：把与第 \(k\) 条前向通道接触的回路统统划掉，用剩下的（即与该通道不接触的）那些回路，按下面 \(\Delta\) 同样的写法算出来的式子。如果所有回路都和这条前向通道接触，那就一个回路都不剩，\(\Delta_k=1\)。

（2）公式本体

• 这公式在说什么：分子是"每条前向通道的增益 × 它的余因子式，再全部加起来"；分母 \(\Delta\) 叫特征式，是"1 减去所有回路增益之和，再加上所有两两互不接触回路增益乘积之和，再减去所有三三互不接触回路增益乘积之和"——正负号交替，一直做到"再也找不出更多互不接触的回路"为止（回路总数有限，所以这个过程必然终止；本讲的题在第二项就终止了）。
• 每个符号：\(P_k\) = 第 \(k\) 条前向通道的总增益；\(\Delta_k\) = 它的余因子式；\(L_i\) = 第 \(i\) 个回路的回路增益（自带负反馈的负号）。
• 本讲的简化：本讲三道题（例题三、四、五）都属于最简单的一种情形——所有回路互相接触、也都与前向通道接触。于是：两两不接触的回路一个也没有，\(\Delta\) 里从第三项起全部为零，只剩 \(\Delta=1-\sum L_i\)；同时所有回路都与前向通道接触，余因子式 \(\Delta_k=1\)。所以本讲实际只用这一式：

一般式里"两两不接触、三三不接触"那些项在本讲一道题都用不上，但它们确实存在，不是被我省略掉的；完整的用法（含互不接触回路、多条前向通道）属于第二章结构图与信号流图那一节的内容，考研里也会考，请回第 02、03 讲复习。本讲不用 \(\cdots\) 糊过去，上面那个一般式就是完整的写法。

（3）【难点】减号怎么变成加号的——这是零基础在这里必卡的一步

公式明明写着 \(1-\sum L_i\)，可代入时却变成了 \(1+\dfrac{5\tau s}{s(s+1)}+\dfrac{5K}{s(s+1)}\)，全是加号。原因只有一个：\(L_i\) 本身是负的。

以例题三为例，两条回路都是负反馈，所以

代进 \(1-\sum L_i\)：

"减去一个负数 = 加上它的绝对值"，如此而已。写题时最稳妥的做法是：先老老实实把每个 \(L_i\) 连负号一起写出来，再整体代入 \(1-\sum L_i\)，不要凭印象直接写加号——遇到正反馈（比较点是 \(+\) 号）时 \(L_i\) 就是正的，分母里反而出现减号，凭印象必错。

【你可能会以为】\(1+G\) 里的那个加号是"因为是负反馈所以加"。 但其实加号来自"1 减去（负的回路增益）"这个双重否定。第 0.1 节的 \(\Phi=\dfrac{G}{1+G}\)，正是梅森公式在"一条前向通道 \(P=G\)、一个回路 \(L_1=-G\)"时的特例：\(\Phi=\dfrac{G}{1-(-G)}=\dfrac{G}{1+G}\)。两件事从来就是一件事。

0.6 劳斯判据的最小可执行版（第 05 讲内容，这里补到"能动手"）

本讲例题四、五都要判稳，只写"见第 05 讲"你就卡住了，所以这里给一个够用的最小版本。完整推导与特殊情况（第一列出现 0、整行全 0）见 第05讲的稳定性一节，做题前请先回去看一遍。

对特征方程 \(a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n=0\)（\(a_0>0\)）：

必要条件（先看一眼，能秒杀一批题）：所有系数全部存在且同号（都为正）。缺项或有负系数，直接判不稳定，不必列表。

排表：把系数隔一个取一个，分两行写。以三阶 \(a_0s^3+a_1s^2+a_2s+a_3=0\) 为例：

\(b_1\) 怎么算（照着做，别背式子）：拿它正上方那两行的第 1 列和第 2 列，圈出一个 2×2 的小方块 $\(\begin{array}{cc} a_0 & a_2\\ a_1 & a_3\end{array}\)$ 然后做交叉相乘再相减：（左下 \(a_1\) × 右上 \(a_2\)）－（左上 \(a_0\) × 右下 \(a_3\)），最后除以左下角那个数 \(a_1\)，就得到 $\(b_1=\frac{a_1a_2-a_0a_3}{a_1}\)$

【补前置：有的书会把它写成"行列式"，那是什么】 有的教材把上面这一步写成 \(b_1=-\dfrac{1}{a_1}\begin{vmatrix}a_0&a_2\\a_1&a_3\end{vmatrix}\)，两条竖线夹起来的那个方块叫二阶行列式，它只是一个约定的缩写，规定 $\(\begin{vmatrix}p&q\\u&v\end{vmatrix}\ \equiv\ pv-qu\quad(\text{主对角线之积}\ -\ \text{副对角线之积})\)$ 代进去：\(\begin{vmatrix}a_0&a_2\\a_1&a_3\end{vmatrix}=a_0a_3-a_2a_1\)，前面再乘 \(-\dfrac{1}{a_1}\)，得 \(\dfrac{a_1a_2-a_0a_3}{a_1}\)——和上面那句"交叉相乘再相减"一模一样。 所以：行列式这个记号在本课只是个写法，不需要你去学线性代数。你按"交叉相乘再相减、除以左下角"这句话动手，永远不会错；见到竖线写法，知道它是同一件事即可。

判据：看第一列。第一列元素全为正 ⇒ 系统稳定；第一列变号几次，就有几个根在右半平面（右半平面 = 实部为正，见 0.0 节），即有几个发散的模态，系统不稳定。

二阶的特例（本讲例题一、三、四都在用）：\(a_0s^2+a_1s+a_2=0\)，排出来第一列是 \(a_0,a_1,a_2\)，所以第一列全正 ⇔ 三个系数全正。这就是"二阶系统各项系数全为正即稳定"这条结论的来由——它不是一条独立的口诀，就是劳斯判据在 \(n=2\) 时的样子。三阶开始就不成立了（三阶还要额外满足 \(a_1a_2>a_0a_3\)，即上表的 \(b_1>0\)）。

例题一：把"不典型"化成"典型"，再一口气问三件事

题目在问什么

给一个二阶反馈控制系统（不是典型结构）。要求： 1. 把它等效成单位负反馈系统，求等效后的开环传递函数； 2. 误差定义为 \(e=r-c\)（输入减输出）时，\(K\) 取何值可使单位阶跃输入下系统无静差（"无静差"= 稳态误差为 0）； 3. 求此时的上升时间、调节时间、超调量。

【必读】结构图我们手上没有原图，这里把它文字化

诚实交代：原题的结构图在视频画面上，我们手上只有字幕转录，没有图。而字幕对这张图的口述是残缺的（老师念的是"2.5 乘以 K 比上 \(s^2+5s\)"，随后直接整理成 \(\dfrac{2.5K}{s^2+5s+15+K}\)，中间那步在画面上）。所以下面这张"文字版结构图"是按最终结果反推出的一种复原，不是从原图逐个方框抄下来的：

从左到右：输入 \(r\) → 比较点①（\(r\) 减去从输出端引回来的反馈，出口就是误差 \(e\)）→ 比例环节 \(2.5\) → 进入一个局部闭环（内环）：内环的前向环节是 \(\dfrac{K}{s^{2}+5s+15}\)，内环的反馈是单位负反馈（比较点②，反馈系数 1）→ 内环输出即整个系统输出 \(c\)。外环反馈通道上不是纯 1（否则整个系统本来就典型了），所以本题才要做"等效成单位负反馈"这道手续。

内环怎么化简（这一步必须自己会算，不能只看结果）：任何"前向 \(G_1\)、反馈 \(H_1\)、比较点取负"的闭环，等效传递函数都是 $\(\frac{G_1}{1+G_1H_1}\)$ （推导见 0.1 节那个 \(\Phi=\frac{G}{1+G}\)，把 \(H_1\) 带上重做一遍即可；也可以用 0.5 节梅森公式：一条前向通道 \(P=G_1\)，一个回路 \(L_1=-G_1H_1\)，于是 \(\Phi=\frac{G_1}{1-(-G_1H_1)}\)。） 代入 \(G_1=\dfrac{K}{s^{2}+5s+15}\)、\(H_1=1\)： $\(\frac{G_1}{1+G_1}=\frac{\dfrac{K}{s^{2}+5s+15}}{1+\dfrac{K}{s^{2}+5s+15}}=\frac{K}{s^{2}+5s+15+K}\)$ （上下同乘 \(s^2+5s+15\) 就得到右边。这就是所谓"闭环化简把回路增益加到分母上"的具体算法。）

如果你手上有原书/原图，请以原图为准——一旦内环的方框和上面不同，第 1 步的式子就要跟着改，但后面第 2~5 步的方法一字不变。本讲要你学的是方法，不是这一个式子。

【为什么这么出题】老师的提醒（要点转述）：控制原理的题从不孤立考一个点。这一道里塞了两章的内容——结构等效（第二章）、稳态误差（3.5）、暂态指标（3.3）。此类题在考卷中通常占 15 分左右（老师说"15 到 20 分，一般情况下是 15 分"）。

解题动作

第 1 步：先把原系统真实的闭环传递函数算出来。 原系统 = 比例环节 2.5 与后面那个局部闭环的串联。串联就是相乘（信号先过第一个方框、再过第二个，说明书当然连乘）。结果为

（右边那个因子就是上面刚算过的内环等效传递函数；分母里的 \(15+K\) 中，\(15\) 来自内环前向环节自己的常数项，\(+K\) 是闭环化简把回路增益加到分母上留下的。）

第 2 步：反解"如果它是单位负反馈，前向通道该是谁"。 单位负反馈必有 \(\Phi=\dfrac{G}{1+G}\)。把这个关系倒过来解 \(G\)：

这一步在干什么：\(\Phi\) 是"实际表现"，\(G\) 是"等效说明书"。表现不变、结构改写，这就是"等效"二字的含义。代入：

这就是等效开环传递函数，第一问答完。

【你可能会以为】"等效成单位负反馈"就是把反馈线上的东西直接丢掉。 但其实不是。丢掉会改变系统行为。正确做法是保持闭环传递函数不变，把原来分散在反馈通道里的信息折算进前向通道——上面分母里那个 \(-1.5K\) 就是折算留下的痕迹。

第 3 步：求误差传递函数，用终值定理定 \(K\)。 单位负反馈下 \(\Phi_e(s)=\dfrac{E(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{1+G(s)}\)（推导：\(E=R-C=R-GE\)，故 \(E(1+G)=R\)）。代入：

单位阶跃 \(R(s)=1/s\)，用终值定理：

令 \(e_{ss}=0\)，只需分子为零：\(15-1.5K=0\Rightarrow \boxed{K=10}\)。

顺手检查：\(K=10\) 时分母 \(=25\neq0\)，且特征方程 \(s^2+5s+25\) 各项系数全正（二阶系统系数全正即稳定，第 05 讲结论），所以终值定理适用、结果有效。这句话在考卷上值分，别省。

第 4 步：对齐标准式，读出 \(\xi\) 和 \(\omega_n\)。 把 \(K=10\) 代回，闭环特征多项式（即闭环传递函数的分母；令它等于零就是闭环特征方程，它的根就是闭环极点，决定系统怎么响应）：

【字幕勘误】转录此处念成"\(s^2+5s+k\)，\(k=10\)，所以是 \(s^2+5s+25\)"，中间漏掉了常数 15。正确是 \(15+K=15+10=25\)，结果没错，但过程别照抄。

与标准式 \(s^{2}+2\xi\omega_n s+\omega_n^{2}\) 逐项对齐： - 常数项：\(\omega_n^{2}=25\Rightarrow \omega_n=5\) - 一次项：\(2\xi\omega_n=5\Rightarrow \xi=\dfrac{5}{2\times5}=0.5\)

【为什么可以拿误差传递函数的分母当特征多项式】老师专门讲了这点，值得记牢：同一个系统，不管你求的是输入到输出、输入到误差、还是扰动到输出的传递函数，分母（特征多项式）都是同一个。因为分母只反映"系统自身的结构和参数"，与你从哪测、往哪送无关。这条在后面几题里反复用到。

第 5 步：代暂态公式。 - \(\theta=\arccos 0.5=\pi/3\approx1.047\) rad，\(\omega_d=5\sqrt{1-0.25}=5\times0.866=4.33\) - \(t_r=\dfrac{\pi-\theta}{\omega_d}=\dfrac{3.1416-1.047}{4.33}\approx0.48\ \text{s}\) - \(t_s=\dfrac{3.5}{\xi\omega_n}=\dfrac{3.5}{0.5\times5}=1.4\ \text{s}\)（本题给定允许误差区域 \(\Delta=\pm5\%\)，转录原话"因为给定的允许误差区域是正负5%"，所以直接用 \(3.5\) 那个式子，不必两个都算）；若题目改成 \(\pm2\%\) 则 \(4.5/2.5=1.8\) s - \(\sigma\%=e^{-\pi\times0.5/0.866}\times100\%=16.3\%\)

正好印证 0.3 节那张表：\(\xi=0.5\Leftrightarrow\sigma\%=16.3\%\)。

例题二：给你一条响应曲线，反推系统

题目

单位反馈控制系统，其单位阶跃响应曲线已给出（峰值出现在 \(t=0.1\) s，峰值 1.3，稳态值 1）。要求用典型二阶系统建模，并计算调节时间。

解题动作（反推题的标准套路）

第 1 步：看曲线判类型。 曲线呈衰减振荡（冲过头、来回晃、幅度越来越小最后停住）⇒ 系统处于欠阻尼，\(0<\xi<1\)，那套公式可用。

第 2 步：从曲线读两个信息，列两个方程。 未知数是 \(\xi\) 和 \(\omega_n\)，两个，所以需要两个方程。曲线上正好给了两个可读量：

• 超调量：\(\sigma\%=\dfrac{1.3-1}{1}\times100\%=30\%\)
• 峰值时间：\(t_p=0.1\) s

第 3 步：先用超调量单独解 \(\xi\)（因为超调量只和 \(\xi\) 有关，是单变量方程，不必联立）：

就地补（3）：\(\ln\) 是什么？为什么要"两边取对数"？ 现在的困难是：待求的 \(\xi\) 被关在指数的位置上（在 \(e\) 的肩膀上），普通的移项拿不下来。要把它拽下来，只能用指数运算的反操作。 \(e\) 是一个固定的常数（\(e\approx2.718\)，叫自然常数）。\(\ln x\)（自然对数）问的是："\(e\) 的多少次方等于 \(x\)？" 例如 \(\ln e=1\)（因为 \(e^1=e\)），\(\ln 1=0\)（因为 \(e^0=1\)）。所以 \(\ln\) 和 \(e^{(\cdot)}\) 互为反操作，一套一消：\(\ln(e^{a})=a\)。 于是对 \(e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}=0.3\) 两边同时取 \(\ln\)：左边被消成肩膀上的那一坨 \(-\dfrac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\)，右边是 \(\ln 0.3\)。指数上的未知数就这样落到地面上了，这就是"两边取对数"的唯一目的。 数值：\(\ln 0.3\approx-1.204\)（是负数，因为 \(0.3<1\)，而 \(e\) 的负次方才小于 1）。所以 \(-\dfrac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}=-1.204\)，两边同乘 \(-1\)，得 \(\dfrac{\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}=1.204\)。计算器上按 ln 键即可，不用背值。

两边平方，再把 \(\xi^2\) 解出来（这几步移项写全，别跳）： $\(\left(\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^{2}}}\right)^{2}=0.383^{2}\ \Rightarrow\ \frac{\xi^{2}}{1-\xi^{2}}=0.1468\)$ （平方的目的是把碍事的根号去掉：\((\sqrt{a})^2=a\)，所以分母的 \(\sqrt{1-\xi^2}\) 平方后就变成干净的 \(1-\xi^2\)。）

接着交叉相乘（把分母乘到等号另一边）： $\(\xi^{2}=0.1468\,(1-\xi^{2})=0.1468-0.1468\,\xi^{2}\)$ 把带 \(\xi^2\) 的项都挪到左边： $\(\xi^{2}+0.1468\,\xi^{2}=0.1468\ \Rightarrow\ 1.1468\,\xi^{2}=0.1468\)$ 两边同除 \(1.1468\)： $\(\xi^{2}=\frac{0.1468}{1.1468}=0.128\ \Rightarrow\ \xi=\sqrt{0.128}\approx0.358\)$ （取正根，因为阻尼比按定义非负。）

第 4 步：再用峰值时间解 \(\omega_n\)： $\(t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^{2}}}\ \Rightarrow\ \omega_n=\frac{\pi}{t_p\sqrt{1-\xi^{2}}}=\frac{3.1416}{0.1\times0.934}\approx33.7\ \text{rad/s}\)$

至此模型确定：\(\Phi(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2}\approx\dfrac{1135}{s^{2}+24.1s+1135}\)。 （回代数值：\(\omega_n^{2}\approx33.7^{2}=1135.7\)，\(2\xi\omega_n\approx2\times0.358\times33.7=24.1\)。上式的 1135 是把 1135.7 四舍五入取整的写法；你若自己算成 1136 或 1135.7，都不算错——前面 \(\xi,\omega_n\) 本身就是保留三位有效数字的近似值，末位有一两个单位的出入很正常，别以为做错了。）

第 5 步：题目没说 \(\Delta\)，两个都写。 \(\xi\omega_n=0.358\times33.7\approx12.1\) - \(\Delta=\pm5\%\)：\(t_s=3.5/12.1\approx0.29\) s - \(\Delta=\pm2\%\)：\(t_s=4.5/12.1\approx0.37\) s

老师评价：这类题在考卷中分值占比不大、难度也较小，属于"必须拿满"的题。

老师在这里留的一个思考题（别跳过）

老师提出（要点转述）：如果题目没有说明"这是单位负反馈系统"，只给你一条响应曲线，该怎么处理？

这不是刁难。想清楚它，你才真懂"曲线 ↔ 系统"的关系：一条阶跃响应曲线只能确定"闭环传递函数"（系统的外部表现），并不能唯一确定内部结构——同一条曲线可以由多种内部接法产生（比如反馈通道带一个增益 \(H\)，前向通道相应放大，外部表现可以一致）。所以： - 求 \(t_s\)、\(\sigma\%\) 这类只依赖闭环的量：曲线够用。 - 求开环传递函数、开环增益、系统型别：必须知道反馈结构，否则无解。

【存疑·待核】转录中老师只提出了这个问题，未给出解答（原话"这个需要大家再思考一下"）。上面这段是按控制原理一般结论所作的解释，不是老师原话。

【你可能会以为】稳态值总是 1，超调量就等于"峰值减 1"。 但其实不是。\(\sigma\%\) 的定义分母是 \(h(\infty)\)——稳态值。本题恰好 \(h(\infty)=1\) 才能这么算。若曲线最后稳定在 0.8、峰值 1.0，则超调量是 \((1.0-0.8)/0.8=25\%\)，不是 20%。这是最常见的粗心失分。

例题三：带测速负反馈的系统（本讲最典型的考研题型）

题目

某系统前向通道含比例 \(K\) 与 \(\dfrac{5}{s(s+1)}\)，内部有一条测速负反馈支路，反馈传递函数为 \(\tau s\)。已知 \(\sigma\%=16.3\%\)、\(t_s=3.5\) s。求： 1. 参数 \(K\)、\(\tau\)，以及另一个性能指标（峰值时间）； 2. 系统闭环传递函数； 3. 输入 \(r(t)=2t\) 时的稳态误差。

结构图文字化（原图在视频画面上，我们手上没有）

诚实交代：这道题的结构图同样只存在于视频画面里。下面这段文字描述是按字幕口述 + 最终结果复原的，不是从原图逐框抄下来的；若你手上有原书图，以原图为准。复原如下（"比较点""支路"两个词见 0.4 节的术语框）：

从左到右： - 输入 \(r\) → 外环比较点①：\(r\) 减去从最终输出 \(c\) 直接引回来的信号（外环是单位负反馈，反馈通道上什么都没有）。①的出口就是误差信号 \(e\)——第三问要算的稳态误差，就是这个 \(e\) 的终值。 - \(e\) → 比例环节 \(K\)（一个只做放大的方框）。 - 然后 → 内环比较点②：这里减去测速反馈支路送回来的信号。 - ② → 环节 \(\dfrac{5}{s(s+1)}\) → 输出 \(c\)。 - 测速反馈支路：从输出端的节点引出，经过 \(\tau s\) 这个方框，送回到比较点②（取负号）。

最要命的一点：测速反馈支路的两端（起点是输出端节点、终点是比较点②）都在比例环节 \(K\) 的下游，也就是整条内环都躲在前向通道内部，它跟外环比较点①一点关系都没有。这就是第 6 步"开环传递函数是谁"那个坑的全部根源。

先解释"测速负反馈"是什么

测速反馈：用测速发电机（转速传感器）测出输出量的变化率（比如转角的变化率就是转速），再反馈回去做减法。在 \(s\) 域里"求导"就是乘 \(s\)，所以这条支路（结构图上的一段通路，见 0.4 节术语框）的传递函数写成 \(\tau s\)，\(\tau\)（读"陶"）是它的增益。

"量纲"是什么：量纲就是一个量"属于哪一类物理量"——长度、时间、质量等等，不管你用米还是厘米。工程上有一条铁律：只有量纲相同的量才能相加、才能比较（1 秒 + 1 米没有意义）。这里说"\(\tau\) 的量纲是时间"，意思是：\(s\) 在 \(s\) 域里对应"求一次导"，量纲是 1/时间；要让 \(\tau s\) 整体是个纯数（没量纲，才能和别的信号相加减），\(\tau\) 的量纲就必须是时间，所以它被叫做时间常数，单位是秒。第 4 步算出 \(\tau=0.2\)，意思就是 0.2 秒。

它的作用（要理解，不要死记）：普通反馈只看"你现在偏了多少"；测速反馈还看"你正冲得多猛"。冲得越猛，反馈减掉的越多，相当于提前刹车。数学上它增大了闭环特征方程的一次项系数，也就是增大了 \(\xi\)，因此减小超调、增加阻尼。老师称之为"针对被控对象增加的改善性能的措施"——这是第六章"校正"的雏形，本讲先建立印象。

解题动作

第 1 步：用梅森公式求闭环传递函数。（公式本体、四个术语、以及"减号为什么变加号"，全部在 0.5 节讲过，忘了先翻回去。）

先按 0.5 节的做法，把三样东西一件一件写出来：

• 前向通道（从 \(e\) 出发一路向前到 \(c\)）：\(P=K\cdot\dfrac{5}{s(s+1)}=\dfrac{5K}{s(s+1)}\)
• 内回路（测速回路：从比较点②出发，过 \(\dfrac{5}{s(s+1)}\)，再过 \(\tau s\) 回到②）： $\(L_1=-\frac{5}{s(s+1)}\cdot\tau s=-\frac{5\tau s}{s(s+1)}\quad(\text{负号来自比较点②的负反馈})\)$
• 外回路（单位负反馈：从①出发，过 \(K\)、过 \(\dfrac{5}{s(s+1)}\)，再原样回到①）： $\(L_2=-\frac{5K}{s(s+1)}\cdot 1=-\frac{5K}{s(s+1)}\quad(\text{负号来自比较点①的负反馈})\)$

判断接触情况：\(L_1\) 和 \(L_2\) 都经过 \(\dfrac{5}{s(s+1)}\) 这个环节，所以两个回路互相接触（有公共支路）⇒ \(\Delta\) 里没有"两两不接触"的项；两个回路也都与前向通道有公共支路 ⇒ 余因子式 \(\Delta_1=1\)。这正是 0.5 节说的"本讲三题都属这种最简情形"，于是用简化式 \(\Phi=\dfrac{P}{1-\sum L_i}\)：

（减号变加号的唯一原因：\(L_1,L_2\) 自带负号，减去负数就是加。0.5 节第（3）小节专门讲了这一步，这里不再重复。）

（最后一步是上下同乘 \(s(s+1)\)：分子变 \(5K\)；分母变 \(s(s+1)+5\tau s+5K=s^2+s+5\tau s+5K=s^{2}+(5\tau+1)s+5K\)。）

第 2 步：对齐标准式。 $\(\omega_n^{2}=5K,\qquad 2\xi\omega_n=5\tau+1\)$ 两个方程、两个未知参数（\(K,\tau\)），所以只要拿到 \(\xi\) 和 \(\omega_n\) 就能反解。

第 3 步：由性能指标拿 \(\xi\)、\(\omega_n\)。 - \(\sigma\%=16.3\%\Rightarrow \xi=0.5\)（直接用背下来的结论，省掉解指数方程的功夫——这就是老师要你记那两个值的原因） - \(t_s=3.5\) s，且题目给定 \(\Delta=\pm5\%\)（转录原话"当德尔塔等于正负 5% 的时候……题目当中已经告诉我们等于 3.5 秒了"，所以这里不是默认取值，是题给条件；本讲 0.2 节说的"没给就两个都算"只适用于例题二那种题目真没说的情形，两者别混）：\(\dfrac{3.5}{\xi\omega_n}=3.5\Rightarrow \xi\omega_n=1\Rightarrow \omega_n=\dfrac{1}{0.5}=2\)

【字幕勘误】转录此处念成"\(\omega_n\) 等于一……\(\omega_n\) 应该等于二"，前一句其实是 \(\xi\omega_n=1\)。

第 4 步：反解参数与剩下的指标。 - \(5K=\omega_n^2=4\Rightarrow K=0.8\) - \(5\tau+1=2\xi\omega_n=2\Rightarrow \tau=0.2\) - \(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}=\dfrac{3.1416}{2\times0.866}\approx1.81\) s - 闭环传递函数：\(\Phi(s)=\dfrac{4}{s^{2}+2s+4}\)

第 5 步（第三问）：先判稳，再算稳态误差。 闭环特征方程 \(s^{2}+2s+4=0\)：二阶系统、各项系数全为正 ⇒ 稳定。老师在此特别强调：只有稳定的系统才存在稳态误差；不稳定就没有计算的必要。凡遇稳态误差题，第一句先判稳。

第 6 步：找对"开环传递函数"。 这是本题真正的考点。误差定义在外环比较点①的出口（\(e=r-c\)），外环是单位负反馈，所以

为什么是这个：内环（测速回路）不是外环的反馈，它是前向通道内部的一部分。所以要先把内环化简成一个等效环节，再乘上比例环节 \(K\)，才得到"从误差到输出"这一整条路——这才是开环传递函数。老师在此处的原话是：系统的开环传递函数实际上是这个比例环节和后边测速负反馈局部闭环二者的串联。

（中间那一步的算法：内环等效 \(=\dfrac{G_1}{1+G_1H_1}\)，取 \(G_1=\dfrac{5}{s(s+1)}\)、\(H_1=\tau s\)，得 \(\dfrac{5/[s(s+1)]}{1+5\tau s/[s(s+1)]}=\dfrac{5}{s(s+1)+5\tau s}\)，再乘上 \(K\)。代入 \(K=0.8,\tau=0.2\)：\(\dfrac{5\times0.8}{s(s+1+1)}=\dfrac{4}{s(s+2)}\)。）

【你可能会以为】测速反馈的 \(\tau s\) 也是一条"反馈"，所以开环传递函数应该写成 \(G\cdot H\)、把 \(\tau s\) 当作那个 \(H\) 放进去（甚至写成 \(\dfrac{5K}{s(s+1)}\cdot\tau s\)）。 但其实不是。\(H\) 专指外环（误差所在那个比较点①）的反馈通道上挂的东西；本题①的反馈通道上空空如也，所以 \(H=1\)。\(\tau s\) 那条支路的两端都在①的下游，它是前向通道内部的结构，必须先化简进去，成为前向通道的一部分。 判别的唯一办法：顺着误差信号 \(e\) 往前走，看走到哪里才回到 \(e\) 所在的那个比较点——这一整圈才是开环。走这一圈时你会穿过内环化简后的等效环节，而不是绕内环走。 错了会怎样：若把 \(\tau s\) 当外环 \(H\)，开环变成 \(\dfrac{5K\tau s}{s(s+1)}=\dfrac{5K\tau}{s+1}\)，分母没有孤立的 \(s\)，你会把它判成 0 型，\(K_v=0\)，斜坡误差算成无穷大——第三问整问报废。

【你可能会以为】测速反馈是"有百利而无一害"的改进，\(\tau\) 调得越大越好。 但其实不是。\(\tau\) 增大确实让 \(\xi\) 增大、超调减小（这是它被加进来的目的），但同时开环变成 \(G_{开}=\dfrac{5K}{s(s+1+5\tau)}\)，\(K_v=\dfrac{5K}{1+5\tau}\) 变小，斜坡稳态误差 \(A/K_v\) 变大——"稳"是改善了，"准"变差了。 为什么：\(\tau s\) 这条支路等价于把一部分输出"顶回去抵消掉"，相当于降低了系统的低频放大能力，而稳态精度恰恰靠低频放大能力撑着。这就是自测第 5 题要考的东西，也是第六章"校正"存在的理由：性能指标之间会互相打架，没有免费的午餐。

第 7 步：算稳态误差。 两条路都可以：

方法 A（静态误差系数法）：\(G_{开}\) 分母有一个 \(s\) ⇒ Ⅰ 型系统。 $\(K_v=\lim_{s\to0}sG_{开}(s)=\lim_{s\to0}\frac{4}{s+2}=2\)$ 输入 \(r(t)=2t\)（斜坡，幅值系数 \(A=2\)，\(R(s)=2/s^{2}\)）： $\(e_{ss}=\frac{A}{K_v}=\frac{2}{2}=1\)$

方法 B（终值定理）：\(\Phi_e=\dfrac{1}{1+G_{开}}=\dfrac{s(s+2)}{s^{2}+2s+4}\)， $\(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{2}{s^{2}}\cdot\frac{s(s+2)}{s^{2}+2s+4}=\lim_{s\to0}\frac{2(s+2)}{s^{2}+2s+4}=1\)$ 两法结果一致，可互相校验——考场上有时间就用另一种验一遍。

【难点】为什么 Ⅰ 型系统跟不上斜坡，误差恰好是 \(A/K_v\) 这个有限数？ 回到 0.4 节第（4）小节那段"积分器必须留住误差才能干活"的物理解释：系统里只有一个积分器，它必须持续保有一个非零的误差在输入端，才能不断"积"出跟得上目标速度的输出；误差一旦归零，输出速度立刻掉下来。所以 Ⅰ 型跟踪斜坡必然留下常值稳态误差，而"留多少"由 \(K_v\)（低频放大能力）决定——放大能力越强，需要保留的误差越小。想让斜坡也无差，得再加一个积分器变成 Ⅱ 型。这条理解比背表管用得多，例题四马上要用。

【第一遍看不懂很正常】这道题的卡点通常在第 6 步"开环传递函数是谁"，几乎所有人第一次都会把 \(\tau s\) 错当成外环的 \(H\)。卡住时不要硬记结论，回去看上面那张文字版结构图，用手指顺着 \(e\) 走一圈。

例题四：不给具体数字，只给参数——定性分析题

题目与题型意义

系统前向通道为 \(\dfrac{K_1K_2}{s^{2}}\)，内部有一条反馈支路，其回路传递函数为 \(\dfrac{K_2 f}{s}\) 形式（\(K_1,K_2\) 为正常数，\(f\) 为非负常数）。问： 1. 参数取值对稳定性的影响； 2. 对阶跃响应动态性能的影响； 3. 斜坡输入下对稳态误差的影响。

老师特别指出（要点转述）：这种"不给确定参数、只让你定性分析性能"的题型，在各院校考研题中出现频率越来越高，必须练。

结构图文字化（同样：原图在视频画面上，我们手上没有；下面是按转录中老师写的式子复原的一种读法，第 3 问末尾会说明为什么这一点在本题特别要命）：

• 输入 \(r\) → 比较点①（\(r\) 减去从输出引回的单位反馈）→ 出口是误差 \(e\)
• \(e\) → 前向通道 \(\dfrac{K_1K_2}{s^{2}}\)（两个积分器串联，见 0.1 节"积分器"）→ 输出 \(c\)
• 另有一条反馈支路 \(\dfrac{K_2f}{s}\)，从输出侧引回。按老师在转录中写出的误差传递函数 \(\Phi_e=\dfrac{1}{1+\frac{K_2f}{s}+\frac{K_1K_2}{s^{2}}}\) 判断，他是把这条支路也汇入比较点①处理的（两条反馈一起被减掉）。

但另一种常见画法是 \(\dfrac{K_2f}{s}\) 构成一个内环（像例题三那样躲在前向通道内部），那结论就不同了——见第 3 问末尾的【存疑·待核】。判别只能靠看原图。

解题总纲（拿到这类题先做什么）

固定动作三步： 1. 先把含参数的闭环传递函数写出来——一切分析的载体； 2. 从分母（特征方程）分析稳定性； 3. 从 \(\xi,\omega_n\) 与参数的关系分析暂态；从型别分析稳态误差。

第 1 问：稳定性

二阶系统 ⇒ 各项系数全为正即稳定。这条不是口诀，来由在 0.6 节：二阶特征方程排出的劳斯表第一列就是 \(a_0,a_1,a_2\) 三个系数本身，"第一列全正"和"系数全正"是同一句话。三阶及以上不能只看系数，必须按 0.6 节的方法列劳斯表（三阶还要额外满足 \(a_1a_2>a_0a_3\)）。 - \(K_1K_2>0\)：题目已给正常数，满足； - \(K_2f>0\)：\(K_2>0\)、\(f\ge0\)，所以只要 \(f\neq0\) 就成立。

结论：\(f>0\) 时系统稳定。\(f=0\) 时特征方程变成 \(s^2+K_1K_2=0\)，即 \(s^{2}=-K_1K_2\)，而 \(K_1K_2>0\)，所以要开一个负数的平方根——实数里做不到，这正是 0.0 节里 \(j\) 派上用场的地方：\(s=\pm j\sqrt{K_1K_2}\)（验证：\((j\sqrt{K_1K_2})^{2}=j^{2}K_1K_2=-K_1K_2\)，对）。

这样的根叫纯虚数（实部 \(\sigma=0\)，只有虚部），画在复平面上正好落在虚轴上。按 0.0 节第（3）条：实部为 0 ⇒ \(e^{0\cdot t}=1\)，既不衰减也不增长 ⇒ 系统临界稳定（等幅振荡），永远晃下去不停。工程上视为不可用（既没到"稳"，又对参数漂移极其敏感，稍微一变就可能跑到右半平面）。

第 2 问：动态性能

对齐标准式： $\(\omega_n=\sqrt{K_1K_2},\qquad 2\xi\omega_n=K_2f\ \Rightarrow\ \xi=\frac{K_2 f}{2\sqrt{K_1K_2}}=\frac{f}{2}\sqrt{\frac{K_2}{K_1}}\)$

【字幕勘误】转录此处念成"二倍的根号下 \(k_2/k_1\times f\)"，把系数 \(\tfrac12\) 念成了"二倍"。以上式为准（可用 \(\xi=1\) 代回自验）。

于是分情况讨论（这就是"定性分析"的标准答法）：

临界值来自令 \(\xi=1\)：\(\dfrac{f}{2}\sqrt{K_2/K_1}=1\Rightarrow f=2\sqrt{K_1/K_2}\)。 （转录此处念成 \(f=2K_1/\sqrt{K_2}\)，与推导不符，以本式为准。）

一句话结论：\(f\) 是"阻尼旋钮"。\(f\) 越大，阻尼越强，超调越小、振荡越少，但响应变慢。这是典型的"快"与"稳"的取舍——第三章乃至整门课反复出现的主题。

【你可能会以为】定性分析题"不给数字"所以只能靠感觉说几句、拿不到几分。 但其实相反。它的答案是完全确定、可以逐条写死的：把 \(\xi\) 用参数表示出来，令 \(\xi=0,\ 0<\xi<1,\ \xi=1,\ \xi>1\) 各解一次，就得到上面那张表——每一行都是一个可写在卷面上的结论，评分点很密。真正丢分的是不知道"要以 \(\xi\) 的四个区间为分界"，而不是"没有数字"。

【你可能会以为】\(f\) 越大越好，因为超调越来越小、最后没有超调最"稳"。 但其实不是。\(f>2\sqrt{K_1/K_2}\) 进入过阻尼后，超调确实是 0，但 \(t_s\) 反而变长（系统变得又笨又慢），而且从 0.2 节的 \(t_s=3.5/(\xi\omega_n)\) 也能看出 \(\xi\) 无限增大并不会让 \(t_s\) 一直减小——那个公式本身只在欠阻尼下成立，过阻尼要另外算。所以工程上取 \(\xi=0.4\sim0.8\)（0.3 节那条），既不是越小越好，也不是越大越好。

【第一遍看不懂很正常】这一问的卡点通常在"\(\xi\) 里同时有 \(K_1,K_2,f\) 三个参数，不知道该拿谁当自变量"。定死一句：题目问谁的影响，就把谁当旋钮，其余全当常数。

第 3 问：斜坡下的稳态误差

按转录中老师的写法，误差传递函数为 $\(\Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+\dfrac{K_2f}{s}+\dfrac{K_1K_2}{s^{2}}}=\frac{s^{2}}{s^{2}+K_2fs+K_1K_2}\)$ 斜坡输入 \(R(s)=1/s^{2}\)： $\(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}+K_2fs+K_1K_2}=\lim_{s\to0}\frac{s}{s^{2}+K_2fs+K_1K_2}=0\)$ 即无论 \(f\) 取什么值，斜坡下稳态误差恒为 0。老师给的直觉解释：这是一个 Ⅱ 型系统（含两个积分器 \(1/s^2\)），Ⅱ 型系统在斜坡输入下稳态误差必为零。 （字幕把"Ⅱ 型系统"糊成了"菱形系统"，是同音误听。）

【存疑·待核】这一问依赖题目的结构图，而结构图我们手上没有。 诚实说明分歧点：上式成立的前提是误差信号所在的比较点处，两条反馈支路都汇入同一个节点（即 \(\dfrac{K_2f}{s}\) 与输出一起被减掉）。如果结构图实际上是"\(\dfrac{K_2f}{s}\) 属于内环、误差只定义为 \(e=r-c\)"，那么等效开环为 \(G_{开}=\dfrac{K_1K_2}{s(s+K_2f)}\)，是 Ⅰ 型，斜坡稳态误差为 \(\dfrac{K_2f}{K_1K_2}=\dfrac{f}{K_1}\neq0\)，\(f\) 就会影响误差。 两种情形都要会，判别方法只有一个：看图，看误差信号是从哪个比较点引出来的（"比较点"见 0.4 节术语框）。

【你可能会以为】既然前向通道里有 \(\dfrac{1}{s^{2}}\) 两个积分器，那这个系统当然是 Ⅱ 型，斜坡误差必为 0。 但其实要看图才能定。型别数的是"开环传递函数分母里孤立 \(s\) 的个数"，不是"前向通道里积分器的个数"。若 \(\dfrac{K_2f}{s}\) 是内环（像例题三那样躲在前向通道内部），开环就得先把内环化简进去，变成 \(G_{开}=\dfrac{K_1K_2}{s(s+K_2f)}\)——分母里只剩一个孤立的 \(s\)（另一个被 \(s+K_2f\) 这个因子"吃掉"了，它在 \(s\to0\) 时是有限数 \(K_2f\)，不是积分器），于是是 Ⅰ 型，斜坡误差 \(\dfrac{f}{K_1}\neq0\)。 记住这个机制：内环反馈会"消耗掉"一个积分器的效果——因为反馈一旦接上，那个积分器的输出被自己的反馈拉住了，不再是纯粹的无限累加。这也正是例题三里 \(\dfrac{5}{s(s+1)}\) 加上测速反馈后仍是 Ⅰ 型的同一件事。这正好又撞上本讲反复强调的那个坑——稳态误差题的胜负手不在公式，在"误差定义在哪、开环是谁"。

例题五：给定输入 + 扰动输入同时存在

题目

给定一个系统，要求：用劳斯判据判定其稳定性；当给定输入和扰动输入同为单位脉冲时，分别求各自作用下的稳态误差。

先诚实交代：这道题的结构图老师没有口述、我们手上也没有原图，所以下面无法给出具体数字，只能把"拿到图之后该怎么动手"这套动作补全。老师说这道题"不再细讲"，理由是方法在第二、三章都出现过——但"略"对零基础没有用，所以下面把每一步都写成可执行的动作，你拿到任何一道同类题都能照做。

要点一：判稳的动作

1. 用梅森公式（0.5 节）求出闭环传递函数；
2. 取它的分母多项式，令其为零即闭环特征方程；
3. 对特征方程列劳斯表——具体怎么排、怎么算 \(b_1\)、怎么看第一列，见本讲 0.6 节（那里给了三阶的完整排法和二阶的特例）；判据是：第一列全正 ⇒ 稳定；第一列变号几次，就有几个根在右半平面（右半平面 = 实部为正 ⇒ 响应里含 \(e^{+\sigma t}\) 发散项，见 0.0 节）。完整推导与特殊情况见 第05讲稳定性一节，做这一步之前请先回去看那一节。

老师提醒：这一问通常是整道大题里最简单的一问，不能丢分。

要点二：多输入系统的稳态误差怎么算

核心工具是线性系统的叠加原理：系统是线性的，多个输入同时作用时的响应 = 各输入单独作用时响应之和。所以：

1. 令扰动 \(N=0\)，只留给定 \(R\)，求 \(\Phi_{er}(s)=E(s)/R(s)\)，得 \(e_{ssr}\)；
2. 令给定 \(R=0\)，只留扰动 \(N\)，求 \(\Phi_{en}(s)=E(s)/N(s)\)，得 \(e_{ssn}\)；
3. 总稳态误差 \(e_{ss}=e_{ssr}+e_{ssn}\)。

【你可能会以为】多输入就要把 \(R\) 和 \(N\) 一起代进同一个式子里算一次。 但其实不行，也没必要。传递函数的定义本身就是"单输入单输出、其余输入置零"时的比值，所以只能一个一个来，最后相加。 为什么能相加：因为系统是线性的——线性的定义就是"两个输入一起作用的响应 = 各自作用的响应之和"。这条叫叠加原理，是本课程从头到尾（"线性系统的时域分析法"这个标题里的"线性"二字）成立的前提。非线性系统（第 8 章）就不能这么干，那时叠加原理失效。

【你可能会以为】把 \(R\) 置零，就等于把输入端那根线剪掉、系统就不动了。 但其实不是。\(R=0\) 的意思是"指令是 0"，即"要求输出保持在 0"，系统仍然在工作、仍然在跟踪这个"0 指令"；此时扰动 \(N\) 把输出推离 0，误差就是被推离的那部分。这正是"抗扰性能"的物理场景：命令你别动，外力推你，你被推动了多少。

（对应 PPT 上写的 \(e(t)=e_{主控}(t)+e_{扰动}(t)\)。）

"扰动"是什么：不是你给系统的指令，而是外界的捣乱——比如电机带的负载突然变重、电网电压波动。控制系统好不好，很大程度上看它抗不抗扰。 注意：扰动是从系统中间某处注入的，它到误差点经过的环节和 \(R\) 不一样，所以两个误差传递函数通常不同，必须分别求，不能偷懒。

要点三：本题输入是"单位脉冲"

单位脉冲 \(\delta(t)\) 的拉氏变换是 1（不是 \(1/s\)）。所以 \(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\Phi_e(s)\cdot1\)。 【难点】对稳定系统而言，脉冲输入下稳态误差通常算出来是 0——因为脉冲是"敲一下就没了"的输入，稳定系统最终会自己衰减回去。算出 0 不要慌以为做错了；但过程仍要写全（判稳 → 两个误差传递函数 → 取极限），分数在过程里。

【你可能会以为】脉冲输入的拉氏变换也是 \(1/s\)（因为"单位"两个字看起来跟单位阶跃一样）。 但其实是 1。阶跃 \(1(t)\) 是"推上去就一直按住"，脉冲 \(\delta(t)\) 是"敲一下立刻松手"，两者是完全不同的输入。\(\delta(t)\to 1\)、\(1(t)\to 1/s\)、\(t\to1/s^2\)，这几个要记牢（0.4 节已列出）。代错了这一个，整问的数值全错，而且错得看不出来——因为算出的仍是个像模像样的有限数。 顺带：正因为 \(\delta(t)\) 的像是 1，\(\Phi_e(s)\cdot 1\) 就是误差本身的像，\(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\Phi_e(s)\)——对稳定系统，\(\Phi_e(s)\) 在 \(s=0\) 处是有限的，前面乘个 \(s\to0\) 自然得 0。这就是"脉冲下稳态误差通常为 0"的来由，不是巧合。

【第一遍看不懂很正常】这道题的卡点通常在"两个误差传递函数为什么不一样"。抓住一句：传递函数 = 从哪进、到哪出，中间经过什么。进的地方变了（\(R\) 在最前面进、\(N\) 从中间进），经过的环节自然就不同。

老师的应试提醒（很实在）

要点转述：控制原理的大题常把几个考点串起来，最难的一问往往放在最后。拿到题不要被吓住——前面几问你肯定会做，先把会做的分拿满。

关于主导极点：老师故意没在本讲讲

老师明确说明（要点转述）：第三章的例题里刻意没有涉及"主导极点"，不是因为它不重要——恰恰相反，它对时域分析经常考——而是因为它几乎不单独出题，而是这样考：先让你画出系统的根轨迹，从根轨迹上在满足一定条件时确定主导极点，再用它把高阶系统降成二阶来估算性能。所以主导极点的例题被安排到第四章（根轨迹）去讲。

（"主导极点"= 离虚轴最近的那一对闭环极点。用 0.0 节的语言说：虚轴是 \(\sigma=0\) 那条竖线，"离虚轴近"就是实部的绝对值小，而实部绝对值小意味着 \(e^{\sigma t}\) 衰减得最慢——别的极点带来的分量早就衰减没了，只剩它还在晃，所以它主宰了整条响应曲线的形态，其余极点的影响可忽略。这正是"高阶系统能用二阶公式估算"的依据。第 05 讲讲过概念，第 08 讲会做题。）

这一讲的骨架（真正要带走的几句）

1. 第三章只考三件事：稳不稳（稳定性/劳斯判据）、准不准（稳态误差）、快不快（暂态指标）。一道大题往往三件一起问，且各校必考。
2. 暂态指标公式的使用资格是"典型二阶系统"。不典型就先用 \(G=\dfrac{\Phi}{1-\Phi}\) 化成单位负反馈，再对齐标准式读 \(\xi,\omega_n\)。
3. 对齐标准式是本章第一动作：\(s^2+2\xi\omega_n s+\omega_n^2\)，常数项给 \(\omega_n\)，一次项给 \(\xi\)。
4. 背两个值：\(\sigma\%=16.3\%\Leftrightarrow\xi=0.5\)；\(\sigma\%=4.32\%\Leftrightarrow\xi=0.707\)（最佳阻尼比）。反推题靠它省一大截。
5. 稳态误差题先判稳，这是评分点。\(\Delta\) 没给就 \(\pm2\%\) 与 \(\pm5\%\) 都算。
6. 最大的坑是"开环传递函数是谁"：内部小闭环要先化简进前向通道；误差从哪个比较点定义，决定型别，决定答案。
7. 梅森公式的分母是 \(1-\sum L_i\)，而负反馈回路的 \(L_i\) 自带负号，所以代进去看到的是加号；\(\Phi=\frac{G}{1+G}\) 只是它的特例。这条是本讲三道题第一步的共同工具（0.5 节）。
8. "二阶系数全正即稳定"不是口诀，是劳斯判据在 \(n=2\) 时第一列刚好就是那三个系数（0.6 节）；三阶起必须真列表。
9. 定性分析题（只给参数不给数）套路固定：写含参闭环 → 分母判稳 → \(\xi\) 与参数的关系分情况讨论暂态 → 型别定稳态误差。

自测（戳穿假懂版）

1. 某单位负反馈系统闭环传递函数为 \(\Phi(s)=\dfrac{4(s+2)}{s^{2}+3s+8}\)。能否直接用 \(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\) 求超调量？为什么？

要点：不能。分子含 \(s\)（系统有一个闭环零点），不符合典型二阶系统的长相；零点会改变响应形状（一般使超调增大）。公式是从标准闭环式推出来的，形不同则不可套。 答错说明：你把"分母是二次式"当成了"典型二阶系统"，第 0.1 节的"资格问题"没过关。

2. 例题一中，若把 \(K\) 改成 12，系统还稳定吗？稳态误差是多少？

要点：特征方程 \(s^2+5s+15+12=s^2+5s+27\)，系数全正 ⇒ 稳定。\(e_{ss}=\dfrac{15-1.5\times12}{15+12}=\dfrac{-3}{27}\approx-0.111\)。注意误差可以是负的，表示输出最终超过了输入。 答错说明：若你觉得"不是 0 就一定算错了"，说明你把"无静差"当成了系统的固有属性，其实它只在特定参数下成立。

3. 两个二阶系统，A 的 \(\omega_n=2,\xi=0.5\)；B 的 \(\omega_n=10,\xi=0.5\)。谁的超调量大？谁先稳下来？

要点：超调量相同（只与 \(\xi\) 有关，都是 16.3%）；B 先稳（\(t_s=3.5/(\xi\omega_n)\)，B 的 \(\xi\omega_n=5\)、A 的是 1，B 快 5 倍）。 答错说明：若你答"B 超调大"，说明"\(\sigma\) 只与 \(\xi\) 有关"这条你只是背了，没真信。

4. 某系统开环传递函数 \(G(s)H(s)=\dfrac{10}{s(0.1s+1)(0.5s+1)}\)，输入 \(r(t)=4t\)，稳态误差是多少？（假设系统稳定）

要点：分母只有一个 \(s\) ⇒ Ⅰ 型；\(K_v=\lim_{s\to0}sGH=10\)；\(e_{ss}=4/10=0.4\)。 答错说明：若把 \((0.1s+1)\) 也数成积分环节，说明"型别只数分母里 \(s^\nu\) 的个数"没掌握；若忘了乘输入幅值 4，说明你只会做单位输入。

5. 例题三里，若把测速反馈系数 \(\tau\) 调大（\(K\) 不变），超调量、调节时间、斜坡稳态误差分别怎么变？

要点：\(\omega_n^2=5K\) 不变 ⇒ \(\omega_n\) 不变；\(2\xi\omega_n=5\tau+1\) ⇒ \(\tau\) 增大则 \(\xi\) 增大 ⇒ 超调减小；\(\xi\omega_n\) 增大 ⇒ \(t_s\) 减小（在仍为欠阻尼的范围内）；开环 \(G=\dfrac{5K}{s(s+1+5\tau)}\)，\(K_v=\dfrac{5K}{1+5\tau}\) 变小 ⇒ 斜坡稳态误差变大。 答错说明：这题考的是"改一个参数，三个性能同时被牵动，方向还不一致"。若只答出一个方向，说明尚未建立"性能之间互相打架"的意识——而这正是第六章"校正"存在的理由。

6. 为什么算稳态误差前必须先判稳？举一个不判稳就会得出荒谬结论的情形。

要点：终值定理成立的前提是 \(sE(s)\) 的极点都在左半平面。举例：若 \(\Phi_e\) 带来一个右半平面极点（如含因子 \(\dfrac{1}{s-2}\)），硬套终值定理会算出一个有限数，而实际 \(e(t)\) 中含 \(e^{2t}\) 项，是发散到无穷的。 答错说明：若你觉得"判稳只是走形式"，说明你把终值定理当成了无条件万能公式。

知识地图

向前串（这一讲吃了哪些老本） - 预备知识 00_数学物理零起点补给：复数与 \(j\)（第 3 节）、导数（第 1 节）、拉氏变换（第 4 节）、积分器（第 8 节）。本讲 0.0 节把"复数 / 复平面 / 极点 / 左右半平面"补到够用，\(\ln\)、反三角、弧度制则在例题二、0.2 节就地补。 - 第二章：传递函数、结构图化简、梅森公式（本讲 0.5 节重讲了一遍）——例题三、四、五求闭环传递函数全靠它。 - 第二章：拉氏变换、终值定理——所有稳态误差计算的基础。 - 第 04 讲：典型二阶系统的 \(\xi,\omega_n\) 与四个暂态指标公式。 - 第 05 讲：劳斯判据、二阶系统"系数全正即稳定"、系统型别与静态误差系数表。

横向串（本章内部怎么连）

结构图 →（梅森公式）→ 闭环传递函数 → 　├─ 取分母 = 特征方程 →（劳斯判据）→ 稳定性 　├─ 分母对齐标准式 → \(\xi,\omega_n\) → 暂态指标 \(t_r,t_p,t_s,\sigma\%\) 　└─ \(\dfrac{1}{1+G_{开}}\) = 误差传递函数 →（终值定理 / 静态误差系数）→ 稳态误差

三条支线共用同一个分母——这就是"一个系统只有一个特征多项式"这条结论在本讲被反复使用的原因。

向后串（后面怎么用） - 第四章 根轨迹：参数变化时闭环极点怎么移动；主导极点的例题在第 08 讲，届时会回头用本讲的二阶指标公式估算高阶系统性能。 - 第五章 频域分析：\(\xi=0.707\) 在频域对应"幅频特性最平坦"，最佳阻尼比会换一副面孔再次出现。 - 第六章 校正：本讲例题三的测速负反馈就是最简单的校正装置；自测第 5 题揭示的"超调、快速性、稳态精度互相打架"，正是校正这一章要解决的核心矛盾。