第06讲 · 第三章例题解析——把"稳、准、快"三件事拧成一道大题来做
这一讲在整章里的位置（先看地图再进门）
前面第04、05讲把第三章的理论讲完了。第三章回答对一个系统的三连问： 1. 稳不稳（稳定性 → 劳斯判据） 2. 准不准（稳态误差 → 静态误差系数 / 拉氏终值定理） 3. 快不快（暂态性能 → 二阶系统的上升时间、峰值时间、超调量、调节时间）
这一讲不讲新知识，全是例题。但它极其重要，原因老师说得很直白：
控制原理在考试里，每一道题绝不是单独割裂的，它会把稳定性、稳态误差、暂态性能诸多考点综合在一起考察。
也就是说，你单独会"劳斯判据"、单独会"算 ζ"没用，考场上给你的是一道混合题：先要你把系统整理成能算的形状，再判稳，再算误差，再算暂态指标，一环扣一环。这一讲就是教你怎么把三件事在一道题里串起来做。
老师本讲讲了 5 个典型例题，分值占比在15～20 分（据本讲老师口述，一般 15 分左右；具体分值以你报考院校真题为准，此处不当作考纲事实）。下面我把每题为什么这么做讲透，而不是只抄步骤。
【难点·全局】这一讲最容易"假懂"的地方：看老师做例题时每一步都点头"嗯对"，合上视频自己做就卡住。卡点不在公式（公式就那几个），卡在前半段的"化形"——怎么把一个乱七八糟的系统整理成"典型二阶系统"或"能套误差公式"的标准形状。这一步没有公式可背，是本讲真正要练的东西。
开讲前：把要反复用的"标准件"摆出来
后面每道题都在反复调用这几个公式。先集中放这里，核对过 PPT，以这个版本为准（字幕 ASR 会把"峰值"念成"分值"、"梅森"念成"梅熏/眉心"，不要用字幕里的字）。
典型二阶系统（这是一切的基准形状）：单位负反馈，且
对应的开环传递函数是 \(G(s)=\dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\)。 - \(\omega_n\)：无阻尼自然振荡角频率 - \(\zeta\)（读"zeta"，字幕里念"可塞/克赛"）：阻尼比
欠阻尼（\(0<\zeta<1\)）二阶系统的四个暂态指标（据 PPT 幻灯片42-44）：
| 指标 | 公式 | 只跟谁有关 |
|---|---|---|
| 上升时间 \(t_r\) | \(t_r=\dfrac{\pi-\theta}{\omega_d}=\dfrac{\pi-\theta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\) | ζ 和 ωn |
| 峰值时间 \(t_p\) | \(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\) | ζ 和 ωn |
| 超调量 \(\sigma\%\) | \(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\) | 只跟 ζ 有关 |
| 调节时间 \(t_s\) | \(\Delta=5\%\)：\(t_s=\dfrac{3.5}{\zeta\omega_n}\)；\(\Delta=2\%\)：\(t_s=\dfrac{4.5}{\zeta\omega_n}\) | ζ 和 ωn |
其中 \(\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) 叫阻尼振荡频率，\(\theta=\arctan\dfrac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\)（也等于 \(\arccos\zeta\)）。
【你可能会以为】超调量公式里有 ωn、有 s，应该跟系统快慢有关。但其实超调量只跟 ζ 有关，ωn 一点不影响它。因为超调量衡量的是"冲过头多少"，是个相对比例（峰值比稳态值高出百分之几），改变 ωn 只是把整条曲线在时间轴上拉伸/压缩，形状不变，冲过头的比例就不变。这条性质本讲会被反复利用：只要告诉你超调量，你立刻能反解出 ζ。
两个必须背下来的超调量↔阻尼比对照（本讲老师明确要求记住，能大幅简化计算）： - \(\sigma\%=16.3\%\;\Longleftrightarrow\;\zeta=0.5\) - \(\sigma\%=4.3\%\;\Longleftrightarrow\;\zeta=0.707\)（这个 \(\zeta=0.707\) 叫最佳阻尼比，有些题会说"经校正后具有最佳阻尼比"，指的就是它）
你可以自己验证 ζ=0.5：\(\sqrt{1-0.25}=0.866\)，指数 \(=-\pi\times0.5/0.866=-1.814\)，\(e^{-1.814}=0.163\)，即 16.3%。ζ=0.707 同理得 4.3%。记结论是为了考场省时间，但得知道它是从超调量公式算出来的，不是天上掉的。
例题1：把"非典型"二阶系统掰成"典型"，再一条龙算三件事
题目结构（据本讲，具体系数以你手头真题为准）：一个二阶反馈系统，前向通道含一个比例环节 2.5 串一个内部闭环，不是典型二阶系统（不是单位负反馈、前向通道也不是标准形状）。要求： - (1) 把系统等效成单位负反馈，求其开环传递函数 \(G(s)\)； - (2) 误差从输入端定义 \(E=R-C\)，问参数 \(k\) 取何值时，单位阶跃输入下系统无静差（稳态误差为0）； - (3) 求此时的暂态性能指标（上升时间、调节时间、超调量）。
第(1)问：为什么要"化典型"，怎么化
【难点】这一步是本讲的核心手艺，没有公式，靠"抓不变量"。
关键抓手：闭环传递函数是系统的"身份证"，化形前后它必须相等。 无论你怎么等效，实际系统输入到输出的关系 \(\Phi(s)\) 是客观存在的，不会因为你换个画法就变。
先从原系统求出真实的闭环传递函数（比例环节串上后面那个小闭环）：
再假设它是单位负反馈的典型结构，则 \(\Phi(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}\)。把这两个"同一个 Φ"划等号，反解 \(G\)：
（分母怎么来的：\(1-\Phi\) 的分子 \(=s^2+5s+15+k-2.5k=s^2+5s+15-1.5k\)。）
到这，系统就被"翻译"成了一个标准的单位负反馈结构，开环就是上面这个 \(G(s)\)。
第(2)问：无静差 → 反解 k，并看穿它的本质
误差传递函数 \(\dfrac{E(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{1+G(s)}=\dfrac{s^2+5s+15-1.5k}{s^2+5s+15+k}\)。
单位阶跃 \(R(s)=\dfrac1s\)，用拉氏终值定理求稳态误差：
要 \(e_{ss}=0\)，分子为零：\(15-1.5k=0\Rightarrow \boxed{k=10}\)。
【你可能会以为】k=10 只是"凑巧让分子为0"的一个数字。但其实它有深刻含义：把 k=10 代回开环 \(G(s)\)，分母 \(15-1.5k=0\)，于是
分母出现了一个纯 s 因子——这正好是标准的I型系统（含一个积分环节）！而I型系统对阶跃输入的稳态误差天然为0。所以 k=10 的真正作用不是"凑巧"，而是把系统升成了I型。这条如果看懂了，你就把"稳态误差"和"系统型别"两章的东西串上了（系统型别=开环含几个积分环节，是第05讲/3.5的核心）。
第(3)问：套暂态公式
k=10 时闭环分母 \(=s^2+5s+15+k=s^2+5s+25\)。跟典型二阶标准式 \(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2\) 逐项比对： - \(\omega_n^2=25\Rightarrow\omega_n=5\) - \(2\zeta\omega_n=5\Rightarrow\zeta=\dfrac{5}{2\times5}=0.5\)
有了 ζ=0.5、ωn=5，四个指标直接代上面那张表即可（\(\Delta=5\%\) 时 \(t_s=3.5/(0.5\times5)=1.4\) 秒；\(\sigma\%=16.3\%\)）。
这道题的教学点：一道题里，化形（第1问）→ 稳态误差（第2问）→ 暂态指标（第3问）三件事被拧在一起，且前一问的结果是后一问的输入（k 先在第2问定下来，第3问才能算 ζ、ωn）。这就是"综合题"的典型长相。
例题2：给你一条响应曲线，反推系统结构
题目：单位反馈系统，给出单位阶跃响应曲线（一条衰减振荡曲线），要求用典型二阶系统建模，并算调节时间。曲线上标了两个关键点：峰值点的时间 \(t_p\)、峰值处的输出值（图上约 1.3，稳态值为 1）。
思路：曲线是"果"，参数是"因"，从果倒推因
衰减振荡 → 系统处于欠阻尼（\(0<\zeta<1\)）。欠阻尼二阶系统的暂态指标只由 ζ、ωn 两个参数决定，所以只要从曲线上凑出两个独立方程，就能反解 ζ、ωn。
方程一（从峰值高度）：\(\sigma\%=\dfrac{1.3-1}{1}\times100\%=30\%\)，代入 \(\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\) 解出 ζ。（超调量只跟 ζ 有关，所以第一步就能单独把 ζ 定死。）
方程二（从峰值时间）：\(t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}\)，ζ 已知，代入解出 ωn。
ζ、ωn 都有了，典型二阶系统的结构就确定，反求调节时间自然不成问题。
【难点·老师特意埋的坑】老师提了一个没展开、但要你回去思考的问题（不是可略内容，是留的思考题）：
如果题目没有说明这是"单位负反馈"系统，只给你一条响应曲线，又该怎么处理？
为什么这是坑：上面整套反推，默认了系统是典型的单位负反馈二阶结构（否则 \(\sigma\)、\(t_p\) 那两个公式根本不成立）。一旦去掉这个前提，同一条曲线可能对应无穷多种系统结构，光靠曲线无法唯一确定。这题老师留白让你想，你要意识到"典型二阶"这四个字是所有暂态公式的前提，前提没了，公式就不能乱套。
【难点·调节时间的误差带】老师强调：若题目没说允许误差带是 ±2% 还是 ±5%，就两个都算上：\(\Delta=5\%\) 用 \(3.5/(\zeta\omega_n)\)，\(\Delta=2\%\) 用 \(4.5/(\zeta\omega_n)\)。别默认一个就交卷。（字幕这里把数字念糊成"43.5""4.5"，正确值以上表 PPT 版为准。）
例题3：带"测速负反馈"的系统——记住那两个阻尼比就赢一半
题目：某系统超调量 \(\sigma\%=16.3\%\)、调节时间 \(t_s=3.5\) 秒（\(\Delta=5\%\)）。系统里含一个测速负反馈环节（对被控对象输出求导后反馈回去，是改善二阶系统性能的常用手段）。要求：(1) 定参数；(2) 用梅森公式求闭环传递函数；(3) 输入 \(r(t)=2t\)（斜坡）时求稳态误差。
第(1)问：背下来的对照直接秒杀
超调量 16.3% → 直接查表 \(\zeta=0.5\)（不用解指数方程，这就是要你背对照的价值）。
调节时间：\(t_s=\dfrac{3.5}{\zeta\omega_n}=3.5\Rightarrow \zeta\omega_n=1\Rightarrow\omega_n=\dfrac{1}{0.5}=2\)。
ζ、ωn 到手，再对比闭环标准式，就能把系统里的两个待定参数（时间常数 τ 和增益 k）解出来。
第(2)问：为什么这里用梅森公式
系统有内外两个回路（测速反馈构成的小闭环 + 主反馈大闭环），且前向通道和两个回路都相接触。这种多回路结构，用逐级化简容易乱，梅森增益公式（第二章的工具）一步到位。这就是"向前串"——第二章学的信号流图/梅森公式，在第三章的暂态题里被直接调用。
（字幕把"梅森"念成"梅熏/眉心"，是同一个梅森公式 \(\Phi=\dfrac{\sum P_k\Delta_k}{\Delta}\)，不要被字幕误导。）
第(3)问：先判稳，再算稳态误差
【难点·极易失分的"仪式"】老师反复强调：算稳态误差之前，必须先判定系统稳定。
为什么：稳态误差是 \(t\to\infty\) 时输出与目标的差。若系统不稳定，输出根本不收敛（发散或等幅振荡），"稳态"这个词就不存在，\(e_{ss}\) 无从谈起，硬套终值定理会得到貌似有值实则荒谬的答案。二阶系统判稳很省事：闭环特征方程各项系数全为正即稳定（这是二阶系统的充要条件）。写一句"各系数为正，系统稳定"，既严谨又不丢那一两分。
判稳后，斜坡输入下有两条路： - 路子A（终值定理）：求误差传递函数，\(e_{ss}=\lim_{s\to0}s\cdot E(s)\)。 - 路子B（静态误差系数）：斜坡对应静态速度误差系数 \(K_v=\lim_{s\to0}sG(s)H(s)\)，则 \(e_{ss}=\dfrac{R}{K_v}\)（这里输入 \(2t\)，\(R=2\)，故 \(e_{ss}=2/K_v\)）。
【你可能会以为】求 \(K_v\) 时的"开环传递函数"就是前向通道那一串。但其实这里的开环传递函数是比例环节与测速负反馈那个局部闭环的串联——测速内环已经把系统结构改了，开环要按改造后的结构来数。数错开环，\(K_v\) 和系统型别就全错。这是测速反馈题最容易翻车的点。
例题4：不给数字，只给参数——定性分析（近年高频题型）
题目：系统只给参数 \(k_1,k_2,f\)（不给具体数值），前向通道为 \(\dfrac{k_1k_2}{s^2}\) 型（含两个积分环节），问这些参数变化如何影响：(1) 稳定性；(2) 阶跃响应的动态性能；(3) 斜坡输入下的稳态误差。已知 \(k_1k_2>0\)，\(f\ge0\)。
老师特别提醒：这种"不给确定参数、用参数变化定性分析性能"的题型，各院校出现频率越来越高。它考的不是算数，是你对"参数→性能"因果链的理解。
(1) 稳定性
闭环特征方程各项系数：\(k_2f>0\) 且 \(k_1k_2>0\)。已知 \(k_1k_2\) 是正常数、\(f\) 非负，所以只要 \(f\ne0\)，各系数全为正 → 系统稳定。这里看出 \(f\)（测速反馈那一项）不只是调性能，还负责保证稳定。
(2) 动态性能——ζ 随参数怎么变
从闭环特征方程比对标准式得：
于是三个参数通过 ζ 影响响应形态，按 ζ 分档讨论： - \(f=0\Rightarrow\zeta=0\)：零阻尼，等幅振荡； - 当 \(f\) 取到使 \(\zeta=1\) 的临界值 \(f=\dfrac{2k_1}{\sqrt{k_2}}\)（由 \(\zeta=1\) 反解）：临界阻尼，单调上升； - \(f\) 小于该临界值 \(\Rightarrow\zeta<1\)：欠阻尼，衰减振荡； - \(f\) 大于该临界值 \(\Rightarrow\zeta>1\)：过阻尼，单调上升。
教学点：这题把"ζ 取值 → 响应形态"的分类（第04讲讲的零/欠/临界/过阻尼四态）用参数串了起来——ζ 不再是天上掉的数，而是 \(k_1,k_2,f\) 算出来的。
(3) 斜坡稳态误差——看穿"型别"就秒杀
误差传递函数 \(\dfrac{E}{R}=\dfrac{s^2}{s^2+k_2f\,s+k_1k_2}\)，分子含 \(s^2\)。斜坡 \(R(s)=\dfrac{1}{s^2}\)：
不管 \(f\) 取什么值，斜坡稳态误差恒为0。
【你可能会以为】误差还得算半天。但其实前向通道有两个积分环节（\(1/s^2\)），这是II型系统，而II型系统对阶跃和斜坡输入的稳态误差天生都是0。看穿型别，一眼定论，不用算极限。
（说明：字幕把"II型系统"念成了"菱形系统"，是 ASR 谐音错误，正确说法是II型（含两个积分环节）系统，本处以此为准。）
例题5：劳斯判据 + 双输入稳态误差（老师略讲）
题目：给定+扰动双输入系统，用劳斯判据判稳，并求单位冲激输入/扰动各自作用下的稳态误差。
老师本题只点方法、没细算（原话"我就不再细讲了"），要点： - 判稳：先用梅森公式求出闭环传递函数，其分母多项式就是闭环特征方程，对它用劳斯判据。 - 双输入稳态误差：线性系统满足叠加原理，分别求给定作用下、扰动作用下的误差传递函数，各自用终值定理算，再相加。
（这里不展开数值，因老师未细讲、且方法与例题3/前一讲重复；完整原话见转录。）
老师特意"留白"的一处，别以为漏了
老师明说：本讲故意没讲主导极点。原因不是它不重要——恰恰它对时域分析常考——而是它不单独考，会结合根轨迹考：先画出根轨迹，再在满足条件时确定主导极点，用它估算高阶系统性能。所以主导极点的例题留到第四章根轨迹再讲。（这属于教学编排，不是内容遗漏。）
这一讲的骨架（真正要带走的）
- 第三章的题永远是综合题：稳定性、稳态误差、暂态性能拧在一道大题里，且前一问的结果喂给后一问。会单个知识点不够，要会串。
- 真正的手艺是"化形"：把非典型系统掰成典型二阶（抓"闭环传递函数化形前后相等"这个不变量），公式反而是最后一步的体力活。
- 超调量↔阻尼比对照要背：16.3%↔ζ=0.5，4.3%↔ζ=0.707（最佳阻尼比）。给超调量就能秒反解 ζ，因为超调量只跟 ζ 有关。
- 给曲线反推系统：从峰值高度得 σ→ζ，从峰值时间得 ωn，两方程反解两参数。前提是"典型二阶单位负反馈"，前提没了公式不能套。
- 算稳态误差前先判稳：不稳定就没有稳态，这是仪式也是得分点。二阶系统看"特征方程系数全正"即可。
- 看穿系统型别：含1个积分→I型→阶跃零误差；含2个积分→II型→阶跃和斜坡都零误差。看穿型别能跳过算极限。
自测（戳穿假懂版）
- 一个二阶系统闭环分母是 \(s^2+6s+25\)。求 ζ、ωn，以及 \(\Delta=5\%\) 的调节时间。 （要点：\(\omega_n=5\)，\(2\zeta\omega_n=6\Rightarrow\zeta=0.6\)，\(t_s=3.5/(0.6\times5)\approx1.17\)s。答不出说明"比对标准式"这步没过关。）
- 有人说"这个系统 ωn 越大，超调量越小"。对吗？为什么？ （要点：错。超调量只跟 ζ 有关，与 ωn 无关。改 ωn 只在时间轴上拉伸曲线，冲过头比例不变。答"对"说明你把"快"和"超调"混为一谈了。）
- 例题1里 k=10 让阶跃稳态误差为0，除了"分子为0"，还能从系统型别角度解释吗？ （要点：k=10 使开环变成 \(25/[s(s+5)]\)，出现纯 s 因子=I型系统，I型对阶跃天然零误差。答不出说明"稳态误差"和"系统型别"两块还没串起来。）
- 给你一条阶跃响应曲线，峰值 1.25、稳态 1，峰值时间 0.5s。若已知是单位负反馈典型二阶系统，求 ζ、ωn 的思路（列方程即可）。 （要点：σ=25%→代超调量公式解 ζ；再用 \(t_p=\pi/(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2})=0.5\) 解 ωn。若上来就想套调节时间公式，说明没抓住"先ζ后ωn"的顺序。）
- 一道题让你算斜坡输入下的稳态误差，你算出 \(e_{ss}=0\)。交卷前必须先补一句什么话？为什么？ （要点：必须先判定系统稳定。不稳定则无稳态，\(e_{ss}\) 无意义，终值定理会给出假答案。漏这句在严谨题里要扣分。）
- 例题4里，若把 \(f\) 从 0 慢慢调大，系统响应形态会怎么依次变化？临界点在哪？ （要点：\(\zeta=\frac12\sqrt{k_2/k_1}\,f\)，f 增大 ζ 增大：f=0 零阻尼(等幅振荡)→欠阻尼(衰减振荡)→ \(f=2k_1/\sqrt{k_2}\) 临界阻尼→过阻尼(单调上升)。答不出说明没把"参数→ζ→响应形态"这条链打通。）
知识地图
- 向前串：本讲反复调用第二章的梅森公式（例题3、5求闭环传递函数）；调用第04讲的二阶系统四态（零/欠/临界/过阻尼）和四个暂态指标公式；调用第05讲的劳斯判据、稳态误差、系统型别。第三章的例题本质是把前几讲的工具混合调用。
- 横向串：一道题内部，稳定性→稳态误差→暂态性能三者顺序咬合——判稳是算误差的前提，化形定参数是算暂态的前提。这三问不是并列，是流水线。
- 向后串：老师明说主导极点留到第四章根轨迹——因为它要先画根轨迹、再定主导极点、再估性能。所以第四章会把"高阶系统降阶"和"根轨迹"接上。下一讲进入根轨迹法（第四章），是控制原理的第二种分析方法。
- 这块拼图的位置：第三章（时域分析法）到此收尾。整门课的三种分析法——时域(第3章)、根轨迹(第4章)、频域(第5章)——是同一个系统的三种"看法"，接下来换到根轨迹这个视角。