解 闭环系统特征方程根在 \(s\) 平面上的位置由以下量确定：
\[\sigma=\zeta\omega_n,\qquad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2},\qquad \beta=\arccos\zeta\]
(1) \(1>\zeta\geqslant 0.707\)，\(\omega_n\geqslant 2\)
\[\begin{cases}1>\zeta\geqslant 0.707\\ \omega_n\geqslant 2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}45^\circ\geqslant \beta>0^\circ\\ \sigma\geqslant 1.414\end{cases}\]
(2) \(0.5\geqslant \zeta>0\)，\(4\geqslant \omega_n\geqslant 2\)
\[\begin{cases}0.5\geqslant \zeta>0\\ 4\geqslant \omega_n\geqslant 2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}90^\circ>\beta\geqslant 60^\circ\\ 2\geqslant \sigma\geqslant 0\\ 4\geqslant \omega_d\geqslant 1.73\end{cases}\]
(3) \(0.707\geqslant \zeta\geqslant 0.5\)，\(\omega_n\leqslant 2\)
\[\begin{cases}0.707\geqslant \zeta\geqslant 0.5\\ \omega_n\leqslant 2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}60^\circ\geqslant \beta\geqslant 45^\circ\\ 1.414\geqslant \sigma\geqslant 1\\ 1.73\geqslant \omega_d\geqslant 0\end{cases}\]
则 \(s\) 平面上闭环系统特征方程根可能位于的区域如图3-35阴影部分所示。
图3-35 闭环系统特征方程根可能位于的区域
3-41 设系统闭环传递函数如下。当输入为单位阶跃函数时，试确定各系统的动态性能指标，并画出其单位阶跃响应曲线。
(1) \(\Phi(s)=\dfrac{9}{s^2+3s+9}\)；(2) \(\Phi(s)=\dfrac{10}{s^2+10s+100}\)。
解 (1) 由系统闭环传递函数可知，系统的自然频率和阻尼比分别为
\[\omega_n=3,\quad \zeta=0.5\]
则系统的动态性能指标为
超调量 \(\quad \sigma\%=\mathrm{e}^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times 100\%=16.3\%\)
峰值时间 \(\quad t_p=\dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=1.21\mathrm{s}\)
调节时间 \(\quad t_s=\dfrac{4.4}{\zeta\omega_n}=2.93\mathrm{s}\qquad(\Delta=2\%)\)
(2) 由系统闭环传递函数可知，系统的自然频率和阻尼比分别为
\[\omega_n=10,\quad \zeta=0.5\]
则系统的动态性能指标为
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