显然,取 \(K_r=4\),有
\[G_a(s)=\dfrac{4(s+4)}{s^2}\]
此时,系统为Ⅱ型系统,对于斜坡信号输入不产生稳态误差,故 \(K_r=4\) 合适。
3-70 设系统结构图如图3-84所示。(1)当 \(n(t)=0\) 时,确定参数 \(K_1\) 和 \(K_2\),使系统的单位阶跃响应超调量 \(\sigma\%=25\%\),峰值时间 \(t_p=2\);(2)设计环节 \(G_n(s)\),使系统输出不受扰动 \(n(t)\) 的影响。
图3-84 系统结构图
解 (1)求 \(K_1\) 与 \(K_2\)。
令 \(N(s)=0\),则系统开环传递函数为
\[G(s)=\dfrac{K_1}{s(s+1+K_1K_2)}=\dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}\]
因此 \(\omega_n^2=K_1\),\(2\zeta\omega_n=1+K_1K_2\)
因为
\[\sigma\%=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%,\qquad t_p=\dfrac{\pi}{\omega_d}\]
\[\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\]
故得
\[\zeta=\sqrt{\dfrac{(\ln\sigma)^2}{\pi^2+(\ln\sigma)^2}}=0.4\]
\[\omega_n=\dfrac{\pi}{t_p\sqrt{1-\zeta^2}}=1.71\]
从而
\[K_1=\omega_n^2=2.92\]
\[K_2=\dfrac{2\zeta\omega_n-1}{K_1}=0.13\]
(2)设计 \(G_n(s)\)。
将图3-84视为等价信号流图,则有
\[p_1=\dfrac{1}{s+1},\qquad p_2=\dfrac{K_1G_n}{s(s+1)}\]
\[L_1=-\dfrac{K_1}{s(s+1)},\qquad L_2=-\dfrac{K_1K_2s}{s(s+1)}\]
\[\Delta=1-L_1-L_2=1+\dfrac{K_1}{s(s+1)}+\dfrac{K_1K_2s}{s(s+1)}\]
\[\Delta_1=\Delta_2=1\]
于是系统在扰动作用下的闭环传递函数为
\[\dfrac{C(s)}{N(s)}=\dfrac{p_1\Delta_1+p_2\Delta_2}{\Delta}=\dfrac{s+K_1G_n}{s^2+(1+K_1K_2)s+K_1}\]
若取 \(G_n(s)=-\dfrac{s}{K_1}\),则满足系统不受扰动影响的要求。
3-71 某系统结构图如图3-85所示,已知输入 \(r(t)=1+at\),\(G_c(s)\) 为比例微分控制器,且比例分数为1,误差定义 \(E(s)=R(s)-C(s)\)。试证明通过适当调节微分时间常数