\[
\frac{3}{d+1}+\frac{1}{d}=\frac{1}{d+3}
\]
求得分离点的坐标为 \(d_1=-0.268\)，\(d_2=-3.732\)
根据以上几点，可以画出系统概略根轨迹图，如图4-116所示。
根据模值条件
\[
K=\frac{|s-p_1||s-p_2||s-p_3||s-p_4|}{|s-z_1|}
\]
即
\[
K=\frac{|s||s+1|^3}{|s+3|}
\]
解得分离点\(d_1\)处的\(K=0.0385\)；分离点\(d_2\)处的\(K=103.96\)。
因此，若要求\(A(s)=0\)的根都为复数，则\(K\)的变化范围为\(0.0385<K<103.96\)。
图4-116 \(1+G_1(s)=0\)概略根轨迹图
仿真曲线如图4-117、图4-118所示。
MATLAB程序：exe434.m
num=[1 3]; den=[1 3 3 1 0]; figure，rlocus(num,den)； axis([-5 2 -3 3])
图4-117 \(1+G_1(s)=0\)根轨迹图(MATLAB)
图4-118 \(1+G_1(s)=0\)根轨迹分离点信息
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