考研851 自动控制原理
题海 · notes · p.20

2）实数位移定理

实数位移定理又称平移定理。实数位移的含义，是整个采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。实数位移定理如下：

如果函数 \(e(t)\) 是可拉普拉斯变换的，其 \(z\) 变换为 \(E(z)\)，则有

\[\mathscr{Z}\left[e(t-kT)\right]=z^{-k}E(z)\]

以及

\[\mathscr{Z}\left[e(t+kT)\right]=z^{k}\left[E(z)-\sum_{n=0}^{k-1}e(nT)z^{-n}\right]\]

3）复数位移定理

如果函数 \(e(t)\) 是可拉普拉斯变换的，其 \(z\) 变换为 \(E(z)\)，则有

\[\mathscr{Z}\left[\mathrm{e}^{\mp at}e(t)\right]=E(z\mathrm{e}^{\pm aT})\]

4）终值定理

如果函数 \(e(t)\) 的 \(z\) 变换为 \(E(z)\)，函数序列 \(e(nT)\) 为有限值（\(n=0,1,2,\cdots\)），且极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}e(nT)\) 存在，则函数序列的终值

\[\lim_{n\to\infty}e(nT)=\lim_{z\to1}(z-1)E(z)\]

5）卷积定理

设 \(x(nT)\) 和 \(y(nT)\) 为两个采样函数，其离散卷积积分定义为

\[x(nT)*y(nT)=\sum_{k=0}^{\infty}x(kT)y[(n-k)T]\]

则卷积定理如下：若

\[g(nT)=x(nT)*y(nT)\]

必有

\[G(z)=X(z)\cdot Y(z)\]

其中

\[X(z)=\sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k},\qquad Y(z)=\sum_{n=0}^{\infty}y(nT)z^{-n}\]
\[G(z)=\mathscr{Z}\left[g(nT)\right]=\mathscr{Z}\left[x(nT)*y(nT)\right]\]

4. z 反变换

所谓 \(z\) 反变换，是已知 \(z\) 变换表达式 \(E(z)\) 求相应离散序列 \(e(nT)\) 的过程。记为

\[e(nT)=\mathscr{Z}^{-1}\left[E(z)\right]\]

进行 \(z\) 反变换时，信号序列仍是单边的，即当 \(n<0\) 时，\(e(nT)=0\)。常用的 \(z\) 反变换法有如下三种。

1）部分分式法

部分分式法又称查表法，需要把 \(E(z)\) 展成部分分式以便查表。考虑到 \(z\) 变换表中，所有 \(z\) 变换函数 \(E(z)\) 在其分子上普遍都有因子 \(z\)，所以应将 \(E(z)/z\) 展成部分分式，然后将所得结果的每一项都乘以 \(z\)，即得 \(E(z)\) 的部分分式展开式。

设已知的 \(z\) 变换函数 \(E(z)\) 无重极点，求出 \(E(z)\) 的极点为 \(z_1,z_2,\cdots,z_n\)，再将 \(E(z)/z\) 展成

\[\frac{E(z)}{z}=\sum_{i=1}^{n}\frac{A_i}{z-z_i}\]

式中，\(A_i\) 为 \(E(z)/z\) 在极点 \(z_i\) 处的留数，再由上式写出 \(E(z)\) 的部分分式展开式

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