7-45 已知采样系统结构图如图 7-66 所示，其中 \(T=1,a=\ln 2,b=\ln 4,K>0\)。要求：(1) 判断系统的稳定性；(2) 求系统在单位阶跃信号作用下的稳态误差。
图 7-66 采样系统结构图
解 (1) 稳定性分析。
开环传递函数为
\[G(s)=\frac{K}{(s+a)(s+b)}=\frac{K}{b-a}\left(\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}\right)\]
开环脉冲传递函数为
\[G(z)=\frac{K}{b-a}\left(\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-aT}}-\frac{z}{z-\mathrm{e}^{-bT}}\right)=\frac{K}{b-a}\cdot\frac{z(\mathrm{e}^{-aT}-\mathrm{e}^{-bT})}{(z-\mathrm{e}^{-aT})(z-\mathrm{e}^{-bT})}\]
代入 \(T=1,a=\ln 2,b=\ln 4\)，有
\[b-a=\ln 4-\ln 2=\ln 2,\quad \mathrm{e}^{-aT}=\mathrm{e}^{-\ln 2}=\frac{1}{2},\quad \mathrm{e}^{-bT}=\mathrm{e}^{-\ln 4}=\frac{1}{4}\]
\[\mathrm{e}^{-aT}-\mathrm{e}^{-bT}=\frac{1}{4}\]
故得
\[G(z)=\frac{K}{4\ln 2}\cdot\frac{z}{\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{4}\right)}\]
闭环特征方程为
\[\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{4}\right)+\frac{K}{4\ln 2}z=0\]
整理得
\[z^{2}+\left(\frac{K}{4\ln 2}-\frac{3}{4}\right)z+\frac{1}{8}=0\]
令 \(z=\dfrac{w+1}{w-1}\)，代入上式，有
\[\left(\frac{K}{4\ln 2}+\frac{3}{8}\right)w^{2}+\frac{7}{4}w+\left(\frac{15}{8}-\frac{K}{4\ln 2}\right)=0\]
闭环系统稳定的充分必要条件为
\[\frac{K}{4\ln 2}+\frac{3}{8}>0,\qquad \frac{15}{8}-\frac{K}{4\ln 2}>0\]
整理后求出
\[0<K<5.20\]
(2) 求稳态误差。
因为 \(r(t)=1(t)\)，\(R(z)=\dfrac{z}{z-1}\)
故误差 \(z\) 变换式为
\[E(z)=\frac{1}{1+G(z)}R(z)=\frac{z\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{4}\right)}{\left[\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{4}\right)+\frac{K}{4\ln 2}z\right](z-1)}\]
由终值定理，稳态误差为
\[e_{ss}(\infty)=\lim_{z\to 1}(z-1)E(z)=\lim_{z\to 1}\frac{z\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{4}\right)}{\left(z-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{4}\right)+\frac{K}{4\ln 2}z}=\frac{3}{3+\frac{2K}{\ln 2}}=\frac{3}{3+2.89K}\]
其中，\(K\) 的取值范围为 \(0<K<5.20\)。